English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

(2sin(2x)-1)/(cos(2x)-3cos(x)+2)>= 0

Решение

\frac{2 sin ( 2 x ) - 1}{cos ( 2 x ) - 3 cos ( x ) + 2} \geq 0

Решение

2 πn < x \leq \frac{π}{12} + 2 πn or \frac{π}{3} + 2 πn < x \leq \frac{5 π}{12} + 2 πn or \frac{13 π}{12} + 2 πn \leq x \leq \frac{17 π}{12} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Обозначение интервала

(2 πn, \frac{π}{12} + 2 πn] \cup (\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{5 π}{12} + 2 πn] \cup [\frac{13 π}{12} + 2 πn, \frac{17 π}{12} + 2 πn] \cup (\frac{5 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

десятичными цифрами

2 πn < x \leq 0.26179 \dots + 2 πn or 1.04719 \dots + 2 πn < x \leq 1.30899 \dots + 2 πn or 3.40339 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.45058 \dots + 2 πn or 5.23598 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Шаги решения

\frac{2 sin ( 2 x ) - 1}{cos ( 2 x ) - 3 cos ( x ) + 2} \geq 0

Используйте следующую тождественность:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} \geq 0

Периодичность

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} : 2 π

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}

состоит из следующих функций и периодов:

sin (2 x)

с периодичностью

\frac{2 π}{2}

Составная периодичность:

= 2 π

Найдите нули и неопределенные точки

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )}

для

0 \leq x < 2 π

Чтобы найти нули, приравняем неравенство к нулю

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} = 0

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}, x = \frac{13 π}{12}, x = \frac{17 π}{12}

\frac{- 1 + 2 sin ( 2 x )}{2 + cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) - 3 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

Переместите

1

вправо

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

- 1 + 2 sin (2 x) + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

2 sin (2 x) = 1

2 sin (2 x) = 1

Разделите обе стороны на

2

2 sin (2 x) = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = \frac{1}{2}

Общие решения для

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Решить

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= x

Упростите

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Перемножьте числа:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

Решить

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= x

Упростите

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Перемножьте числа:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}, x = \frac{13 π}{12}, x = \frac{17 π}{12}

Найдите неопределенные точки:

x = 0, x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Найдите нули знаменателя

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 cos (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x)

Упростите

2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

2 + cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x)) - 3 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Расставьте скобки

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x)

Упростить

2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

2 + cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) - 3 cos (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= cos^{2} (x) + cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2 - 1

Добавьте похожие элементы:

cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2 - 1

Прибавьте/Вычтите числа:

2 - 1 = 1

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1

1 + 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Решитe подстановкой

1 + 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 2, b = - 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Вычтите числа:

9 - 8 = 1

= 1

Примените правило

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 2}

Добавьте числа:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Примените правило

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

Примените правило

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Вычтите числа:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{1}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π : x = 0

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

Общие решения для

cos (x) = 1

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Решить

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < 2 π

x = 0

cos (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

cos (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

Общие решения для

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Объедините все решения

x = 0, x = \frac{π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

0, \frac{π}{12}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}, \frac{5 π}{3}

Определите интервалы

0 < x < \frac{π}{12}, \frac{π}{12} < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}, \frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}, \frac{17 π}{12} < x < \frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} < x < 2 π

Свести в таблицу:

- 1 + 2 sin (2 x) 2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 3 cos (x) \frac{- 1 + 2 s i n ( 2 x )}{2 + c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x ) - 3 c o s ( x )} x = 0 - 0 Неопределенный 0 < x < \frac{π}{12} - - + x = \frac{π}{12} 0 - 0 \frac{π}{12} < x < \frac{π}{3} + - - x = \frac{π}{3} + 0 Неопределенный \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12} + + + x = \frac{5 π}{12} 0 + 0 \frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12} - + - x = \frac{13 π}{12} 0 + 0 \frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12} + + + x = \frac{17 π}{12} 0 + 0 \frac{17 π}{12} < x < \frac{5 π}{3} - + - x = \frac{5 π}{3} - 0 Неопределенный \frac{5 π}{3} < x < 2 π - - + x = 2 π - 0 Неопределенный

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\geq 0

0 < x < \frac{π}{12} or x = \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{12} or x = \frac{5 π}{12} or x = \frac{13 π}{12} or \frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12} or x = \frac{17 π}{12} or \frac{5 π}{3} < x < 2 π

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

0 < x \leq \frac{π}{12} or \frac{π}{3} < x \leq \frac{5 π}{12} or \frac{13 π}{12} \leq x \leq \frac{17 π}{12} or \frac{5 π}{3} < x < 2 π