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Popolare Trigonometria >

(2cos(x)-1)(2cos(x)+sqrt(2))<0

Soluzione

(2 cos (x) - 1) (2 cos (x) + 2) < 0

Soluzione

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{3 π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn)

Decimale

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.35619 \dots + 2 πn or 3.92699 \dots + 2 πn < x < 5.23598 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

(2 cos (x) - 1) (2 cos (x) + 2) < 0

Sia:

u = cos (x)

(2 u - 1) (2 u + 2) < 0

(2 u - 1) (2 u + 2) < 0 : - \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

(2 u - 1) (2 u + 2) < 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u - 1) (2 u + 2)

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trova i segni di

2 u + 2

2 u + 2 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 2 = 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

2 u + 2 = 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

2 u + 2 - 2 = 0 - 2

Semplificare

2 u = - 2

2 u = - 2

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = - 2

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 2}{2}

Semplificare

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 2 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 2 < 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

2 u + 2 < 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

2 u + 2 - 2 < 0 - 2

Semplificare

2 u < - 2

2 u < - 2

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < - 2

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 2}{2}

Semplificare

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 2 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 2 > 0

Spostare

2

a destra dell'equazione

2 u + 2 > 0

Sottrarre

2

da entrambi i lati

2 u + 2 - 2 > 0 - 2

Semplificare

2 u > - 2

2 u > - 2

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > - 2

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 2}{2}

Semplificare

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Riassumere in una tabella:

2 u - 1 2 u + 2 (2 u - 1) (2 u + 2) u < - \frac{2}{2} - - + u = - \frac{2}{2} - 00 - \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

< 0

- \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

- \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

- \frac{2}{2} < u < \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

- \frac{2}{2} < cos (x) < \frac{1}{2}

a < u < b

allora

a < u and u < b

- \frac{2}{2} < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{2}

- \frac{2}{2} < cos (x) : - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn

- \frac{2}{2} < cos (x)

Scambia i lati

cos (x) > - \frac{2}{2}

Per

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < arccos (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Semplificare

- arccos (- \frac{2}{2}) : - \frac{3 π}{4}

- arccos (- \frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{3 π}{4}

Semplificare

arccos (- \frac{2}{2}) : \frac{3 π}{4}

arccos (- \frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{3 π}{4}

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{2}

Per

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Semplificare

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Semplificare

2 π - \frac{π}{3}

Converti l'elemento in frazione:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Aggiungi elementi simili:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{4} + 2 πn or \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{3} + 2 πn

Esempi popolari

2cos(3x-1/2)>= (sqrt(2))/2