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人気のある三角関数 >

cos(2x)<cos(4x)

解

cos (2 x) < cos (4 x)

解

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

+2

区間表記

(\frac{π}{3} + πn, \frac{2 π}{3} + πn)

十進法表記

1.04719 \dots + πn < x < 2.09439 \dots + πn

解答ステップ

cos (2 x) < cos (4 x)

cos (4 x)

を左側に移動します

cos (2 x) < cos (4 x)

両辺から

cos (4 x)

を引く

cos (2 x) - cos (4 x) < cos (4 x) - cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

仮定:

u = 2 x

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (u) - cos (2 u) < 0 : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) - cos (2 u) < 0

次の恒等を使用する:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (u)) + cos (u) < 0

簡素化

1 - 2 cos^{2} (u) + cos (u) < 0

仮定:

v = cos (u)

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v < 0 : v < - \frac{1}{2} or v > 1

1 - 2 v^{2} + v < 0

因数

1 - 2 v^{2} + v : - (2 v + 1) (v - 1)

1 - 2 v^{2} + v

共通項をくくり出す

- 1

= - (2 v^{2} - v - 1)

因数

2 v^{2} - v - 1 : (2 v + 1) (v - 1)

2 v^{2} - v - 1

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c

= 2 v^{2} - v - 1

式をグループに分ける

2 v^{2} - v - 1

定義

以下の因数:

2 : 1, 2

2

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

1 を加える

1

以下の因数:

2

1, 2

以下の負の因数:

2 : - 1, - 2

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2

u * v = - 2

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = - 1

以下をチェックする:

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

真以下をチェックする:

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

偽

u = 1, v = - 2

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

= (2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

v

を

2 v^{2} + v : v (2 v + 1)

からくくり出す

2 v^{2} + v

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 2 vv + v

共通項をくくり出す

v

= v (2 v + 1)

- 1

を

- 2 v - 1 : - (2 v + 1)

からくくり出す

- 2 v - 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (2 v + 1)

= v (2 v + 1) - (2 v + 1)

共通項をくくり出す

2 v + 1

= (2 v + 1) (v - 1)

= - (2 v + 1) (v - 1)

- (2 v + 1) (v - 1) < 0

両辺を

- 1

で乗じる (不等式を逆にする)

(- (2 v + 1) (v - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

簡素化

(2 v + 1) (v - 1) > 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(2 v + 1) (v - 1)

以下の符号を求める:

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

1

を右側に移動します

2 v + 1 = 0

両辺から

1

を引く

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

2 v = - 1

2 v = - 1

以下で両辺を割る

2

2 v = - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

簡素化

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

1

を右側に移動します

2 v + 1 < 0

両辺から

1

を引く

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

2 v < - 1

2 v < - 1

以下で両辺を割る

2

2 v < - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

簡素化

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

1

を右側に移動します

2 v + 1 > 0

両辺から

1

を引く

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

2 v > - 1

2 v > - 1

以下で両辺を割る

2

2 v > - 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

簡素化

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

1

を右側に移動します

v - 1 = 0

両辺に

1

を足す

v - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

1

を右側に移動します

v - 1 < 0

両辺に

1

を足す

v - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

1

を右側に移動します

v - 1 > 0

両辺に

1

を足す

v - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

v > 1

v > 1

表で要約する:

2 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (v - 1) v < - \frac{1}{2} - - + v = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < v < 1 + - - v = 1 + 00 v > 1 + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

> 0

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

代用を戻す

v = cos (u)

cos (u) < - \frac{1}{2} or cos (u) > 1

cos (u) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) < - \frac{1}{2}

cos (x) < a

では,

- 1 < a \leq 1

の場合は

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < u < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

簡素化

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

簡素化

2 π - \frac{2 π}{3}

元を分数に変換する:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

数を乗じる:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

類似した元を足す:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) > 1 :

すべて偽

u \in R

cos (u) > 1

以下の範囲:

cos (u) : - 1 \leq cos (u) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

cos

関数の範囲は

- 1 \leq cos (u) \leq 1

- 1 \leq cos (u) \leq 1

cos (u) > 1 and - 1 \leq cos (u) \leq 1 :

偽

y =

にする

cos (u)

区間を組み合わせる

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y > 1

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

すべて偽 y \in R

すべて偽 y \in R

以下の解はない : u \in R

すべて偽 u \in R

区間を組み合わせる

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn or すべて偽 u \in R

重複している区間をマージする

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

代用を戻す

2 x = u

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

a < u < b

の場合は

a < u and u < b

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x and 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x : x > \frac{π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x

辺を交換する

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

数を乗じる:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

共通因数を約分する:

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : x < \frac{2 π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

以下で両辺を割る

2

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

簡素化

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= x

簡素化

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

数を乗じる:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

区間を組み合わせる

x > \frac{π}{3} + πn and x < \frac{2 π}{3} + πn

重複している区間をマージする

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

人気の例

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

(arctan (x)) > 0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

tan (θ) < 0, sin (θ) > 0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

8 sin^{3} (t) < 0