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Populaire Trigonométrie >

cos(2x)<cos(4x)

Solution

cos (2 x) < cos (4 x)

Solution

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{3} + πn, \frac{2 π}{3} + πn)

Décimale

1.04719 \dots + πn < x < 2.09439 \dots + πn

étapes des solutions

cos (2 x) < cos (4 x)

Déplacer

cos (4 x)

vers la gauche

cos (2 x) < cos (4 x)

Soustraire

cos (4 x)

des deux côtés

cos (2 x) - cos (4 x) < cos (4 x) - cos (4 x)

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

cos (2 x) - cos (4 x) < 0

Soit :

u = 2 x

cos (u) - cos (2 u) < 0

cos (u) - cos (2 u) < 0 : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) - cos (2 u) < 0

Utiliser les identités suivantes:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (u)) + cos (u) < 0

Simplifier

1 - 2 cos^{2} (u) + cos (u) < 0

Soit :

v = cos (u)

1 - 2 v^{2} + v < 0

1 - 2 v^{2} + v < 0 : v < - \frac{1}{2} or v > 1

1 - 2 v^{2} + v < 0

Factoriser

1 - 2 v^{2} + v : - (2 v + 1) (v - 1)

1 - 2 v^{2} + v

Factoriser le terme commun

- 1

= - (2 v^{2} - v - 1)

Factoriser

2 v^{2} - v - 1 : (2 v + 1) (v - 1)

2 v^{2} - v - 1

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c

= 2 v^{2} - v - 1

Décomposer l'expression en groupes

2 v^{2} - v - 1

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = - 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

vraiVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Faux

u = 1, v = - 2

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

= (2 v^{2} + v) + (- 2 v - 1)

Factoriser

v

depuis

2 v^{2} + v : v (2 v + 1)

2 v^{2} + v

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 2 vv + v

Factoriser le terme commun

v

= v (2 v + 1)

Factoriser

- 1

depuis

- 2 v - 1 : - (2 v + 1)

- 2 v - 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (2 v + 1)

= v (2 v + 1) - (2 v + 1)

Factoriser le terme commun

2 v + 1

= (2 v + 1) (v - 1)

= - (2 v + 1) (v - 1)

- (2 v + 1) (v - 1) < 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

(- (2 v + 1) (v - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Simplifier

(2 v + 1) (v - 1) > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 v + 1) (v - 1)

Trouver les signes de

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 v = - 1

2 v = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

2 v < - 1

2 v < - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v < - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 v + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

2 v > - 1

2 v > - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 v > - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

Trouver les signes de

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

v - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

v - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

v > 1

v > 1

Récapituler dans un tableau:

2 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (v - 1) v < - \frac{1}{2} - - + v = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < v < 1 + - - v = 1 + 00 v > 1 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

v < - \frac{1}{2} or v > 1

Remplacer

v = cos (u)

cos (u) < - \frac{1}{2} or cos (u) > 1

cos (u) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) < - \frac{1}{2}

Pour

cos (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < u < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Simplifier

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

Simplifier

2 π - \frac{2 π}{3}

Convertir un élément en fraction:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Additionner les éléments similaires :

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (u) > 1 :

Faux pour toute

u \in R

cos (u) > 1

Plage de

cos (u) : - 1 \leq cos (u) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

cos

est

- 1 \leq cos (u) \leq 1

- 1 \leq cos (u) \leq 1

cos (u) > 1 and - 1 \leq cos (u) \leq 1 :

Faux

Soit

y = cos (u)

Réunir les intervalles

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour u \in R

Faux pour toute u \in R

Réunir les intervalles

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn or Faux pour toute u \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < u < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Remplacer

2 x = u

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : \frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

a < u < b

alors

a < u and u < b

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x and 2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x : x > \frac{π}{3} + πn

\frac{2 π}{3} + 2 πn < 2 x

Transposer les termes des côtés

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x > \frac{2 π}{3} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{3} + πn

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2} = \frac{π}{3}

\frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π}{3 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

3 \cdot 2 = 6

= \frac{2 π}{6}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

x > \frac{π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn : x < \frac{2 π}{3} + πn

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} < \frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{2 π}{3} + πn

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2} = \frac{2 π}{3}

\frac{\frac{4 π}{3}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 π}{3 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

3 \cdot 2 = 6

= \frac{4 π}{6}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{2 π}{3}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

x < \frac{2 π}{3} + πn

Réunir les intervalles

x > \frac{π}{3} + πn and x < \frac{2 π}{3} + πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

\frac{π}{3} + πn < x < \frac{2 π}{3} + πn

Exemples populaires

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

(arctan(x))>0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

8sin^3(t)<0