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Popular Trigonometria >

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

Solução

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

Solução

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notação de intervalo

(\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimal

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.18879 \dots + 2 πn or 5.23598 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Passos da solução

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

Usar a seguinte identidade:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Portanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{sin ( x )}{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1} < 0

Simplificar

\frac{sin ( x )}{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1} : \frac{sin ( x )}{- 4 sin ^{2} ( x ) + 3}

\frac{sin ( x )}{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1}

Expandir

4 (1 - sin^{2} (x)) - 1 : - 4 sin^{2} (x) + 3

4 (1 - sin^{2} (x)) - 1

Expandir

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 4 - 4 sin^{2} (x) - 1

Simplificar

4 - 4 sin^{2} (x) - 1 : - 4 sin^{2} (x) + 3

4 - 4 sin^{2} (x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= - 4 sin^{2} (x) + 4 - 1

Somar/subtrair:

4 - 1 = 3

= - 4 sin^{2} (x) + 3

= - 4 sin^{2} (x) + 3

= \frac{sin ( x )}{- 4 sin ^{2} ( x ) + 3}

\frac{sin ( x )}{- 4 sin ^{2} ( x ) + 3} < 0

Sea:

u = sin (x)

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} < 0

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} < 0 : - \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} < 0

Fatorar

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} : \frac{u}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3}

Fatorar

- 4 u^{2} + 3 : - (2 u + 3) (2 u - 3)

- 4 u^{2} + 3

Fatorar o termo comum

- 1

= - (4 u^{2} - 3)

Fatorar

4 u^{2} - 3 : (2 u + 3) (2 u - 3)

4 u^{2} - 3

Reescrever

4 u^{2} - 3

como

(2 u)^{2} - (3)^{2}

4 u^{2} - 3

Reescrever

4

como

2^{2}

= 2^{2} u^{2} - 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} u^{2} - (3)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - (3)^{2} = (2 u + 3) (2 u - 3)

= (2 u + 3) (2 u - 3)

= - (2 u + 3) (2 u - 3)

= \frac{u}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}

\frac{u}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} < 0

Multiplique ambos os lados por

- 1

(inverta a desigualdade)

\frac{u ( - 1 )}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} > 0 \cdot (- 1)

Simplificar

\frac{u}{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} > 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

\frac{u}{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}

Encontre os sinais de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontre os sinais de

2 u + 3

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

2 u + 3 = 0

Subtrair

3

de ambos os lados

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

2 u = - 3

2 u = - 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u = - 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplificar

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 < 0 : u < - \frac{3}{2}

2 u + 3 < 0

Mova

3

para o lado direito

2 u + 3 < 0

Subtrair

3

de ambos os lados

2 u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplificar

2 u < - 3

2 u < - 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u < - 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 3}{2}

Simplificar

u < - \frac{3}{2}

u < - \frac{3}{2}

2 u + 3 > 0 : u > - \frac{3}{2}

2 u + 3 > 0

Mova

3

para o lado direito

2 u + 3 > 0

Subtrair

3

de ambos os lados

2 u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplificar

2 u > - 3

2 u > - 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u > - 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 3}{2}

Simplificar

u > - \frac{3}{2}

u > - \frac{3}{2}

Encontre os sinais de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 = 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 < 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplificar

2 u < 3

2 u < 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u < 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplificar

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 > 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplificar

2 u > 3

2 u > 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u > 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplificar

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Encontre pontos de singularidade

Encontre os zeros do denominador

(2 u + 3) (2 u - 3) : u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

(2 u + 3) (2 u - 3) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

2 u + 3 = 0 or 2 u - 3 = 0

Resolver

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

2 u + 3 = 0

Subtrair

3

de ambos os lados

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplificar

2 u = - 3

2 u = - 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u = - 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplificar

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

Resolver

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 = 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

Resumir em uma tabela:

u 2 u + 3 2 u - 3 \frac{u}{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} u < - \frac{3}{2} - - - - u = - \frac{3}{2} - 0 - Indefinido - \frac{3}{2} < u < 0 - + - + u = 0 0 + - 0 0 < u < \frac{3}{2} + + - - u = \frac{3}{2} + + 0 Indefinido u > \frac{3}{2} + + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

> 0

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

- \frac{3}{2} < sin (x) < 0 or sin (x) > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < sin (x) < 0 : π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

- \frac{3}{2} < sin (x) < 0

a < u < b

então

a < u and u < b

- \frac{3}{2} < sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{3}{2} < sin (x) : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

- \frac{3}{2} < sin (x)

Trocar lados

sin (x) > - \frac{3}{2}

Para

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

Simplificar

π - arcsin (- \frac{3}{2}) : \frac{4 π}{3}

π - arcsin (- \frac{3}{2})

arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

= π - (- \frac{π}{3})

Simplificar

π - (- \frac{π}{3})

Aplicar a regra

- (- a) = a

= π + \frac{π}{3}

Converter para fração:

π = \frac{π 3}{3}

= \frac{π 3}{3} + \frac{π}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + π}{3}

Somar elementos similares:

3 π + π = 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Para

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplificar

- π + 2 πn < x < 2 πn

Combinar os intervalos

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2}

Para

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplificar

π - arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{2 π}{3}

π - arcsin (\frac{3}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{3}

Simplificar

π - \frac{π}{3}

Converter para fração:

π = \frac{π 3}{3}

= \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π}{3}

Somar elementos similares:

3 π - π = 2 π

= \frac{2 π}{3}

= \frac{2 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Combinar os intervalos

(π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn) or \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Exemplos populares

(arctan(x))>0

(arctan (x)) > 0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

tan (θ) < 0, sin (θ) > 0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} \leq 0

8sin^3(t)<0

8 sin^{3} (t) < 0

pi/2-arctan(e^x)>0.1

\frac{π}{2} - arctan (e^{x}) > 0.1