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Populaire Trigonométrie >

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

Solution

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

Solution

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Décimale

1.04719 \dots + 2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.18879 \dots + 2 πn or 5.23598 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

étapes des solutions

\frac{sin ( x )}{4 cos ^{2} ( x ) - 1} < 0

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{sin ( x )}{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1} < 0

Simplifier

\frac{sin ( x )}{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1} : \frac{sin ( x )}{- 4 sin ^{2} ( x ) + 3}

\frac{sin ( x )}{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1}

Développer

4 (1 - sin^{2} (x)) - 1 : - 4 sin^{2} (x) + 3

4 (1 - sin^{2} (x)) - 1

Développer

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 4 - 4 sin^{2} (x) - 1

Simplifier

4 - 4 sin^{2} (x) - 1 : - 4 sin^{2} (x) + 3

4 - 4 sin^{2} (x) - 1

Grouper comme termes

= - 4 sin^{2} (x) + 4 - 1

Additionner/Soustraire les nombres :

4 - 1 = 3

= - 4 sin^{2} (x) + 3

= - 4 sin^{2} (x) + 3

= \frac{sin ( x )}{- 4 sin ^{2} ( x ) + 3}

\frac{sin ( x )}{- 4 sin ^{2} ( x ) + 3} < 0

Soit :

u = sin (x)

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} < 0

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} < 0 : - \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} < 0

Factoriser

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3} : \frac{u}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}

\frac{u}{- 4 u ^{2} + 3}

Factoriser

- 4 u^{2} + 3 : - (2 u + 3) (2 u - 3)

- 4 u^{2} + 3

Factoriser le terme commun

- 1

= - (4 u^{2} - 3)

Factoriser

4 u^{2} - 3 : (2 u + 3) (2 u - 3)

4 u^{2} - 3

Récrire

4 u^{2} - 3

comme

(2 u)^{2} - (3)^{2}

4 u^{2} - 3

Récrire

4

comme

2^{2}

= 2^{2} u^{2} - 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} u^{2} - (3)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - (3)^{2} = (2 u + 3) (2 u - 3)

= (2 u + 3) (2 u - 3)

= - (2 u + 3) (2 u - 3)

= \frac{u}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}

\frac{u}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} < 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

\frac{u ( - 1 )}{- ( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} > 0 \cdot (- 1)

Simplifier

\frac{u}{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

\frac{u}{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )}

Trouver les signes de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trouver les signes de

2 u + 3

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

2 u = - 3

2 u = - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplifier

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 < 0 : u < - \frac{3}{2}

2 u + 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u + 3 < 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 u + 3 - 3 < 0 - 3

Simplifier

2 u < - 3

2 u < - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u < - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 3}{2}

Simplifier

u < - \frac{3}{2}

u < - \frac{3}{2}

2 u + 3 > 0 : u > - \frac{3}{2}

2 u + 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u + 3 > 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 u + 3 - 3 > 0 - 3

Simplifier

2 u > - 3

2 u > - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u > - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 3}{2}

Simplifier

u > - \frac{3}{2}

u > - \frac{3}{2}

Trouver les signes de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 u = 3

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 < 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplifier

2 u < 3

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplifier

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 > 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplifier

2 u > 3

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplifier

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Trouver les points de singularité

Trouver les zéros du dénominateur

(2 u + 3) (2 u - 3) : u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

(2 u + 3) (2 u - 3) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

2 u + 3 = 0 or 2 u - 3 = 0

Résoudre

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u + 3 = 0

Soustraire

3

des deux côtés

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Simplifier

2 u = - 3

2 u = - 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Simplifier

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

Résoudre

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 u = 3

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

Récapituler dans un tableau:

u 2 u + 3 2 u - 3 \frac{u}{( 2 u + 3 ) ( 2 u - 3 )} u < - \frac{3}{2} - - - - u = - \frac{3}{2} - 0 - Ind \overset{e}{ˊ} fini - \frac{3}{2} < u < 0 - + - + u = 0 0 + - 0 0 < u < \frac{3}{2} + + - - u = \frac{3}{2} + + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini u > \frac{3}{2} + + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < u < 0 or u > \frac{3}{2}

Remplacer

u = sin (x)

- \frac{3}{2} < sin (x) < 0 or sin (x) > \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} < sin (x) < 0 : π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

- \frac{3}{2} < sin (x) < 0

a < u < b

alors

a < u and u < b

- \frac{3}{2} < sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{3}{2} < sin (x) : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

- \frac{3}{2} < sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) > - \frac{3}{2}

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (- \frac{3}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (- \frac{3}{2}) : - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

Simplifier

π - arcsin (- \frac{3}{2}) : \frac{4 π}{3}

π - arcsin (- \frac{3}{2})

arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}

arcsin (- \frac{3}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{2}) = - arcsin (\frac{3}{2})

= - arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

= - \frac{π}{3}

= π - (- \frac{π}{3})

Simplifier

π - (- \frac{π}{3})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= π + \frac{π}{3}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 3}{3}

= \frac{π 3}{3} + \frac{π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + π}{3}

Additionner les éléments similaires :

3 π + π = 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplifier

- π + 2 πn < x < 2 πn

Réunir les intervalles

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (x) > \frac{3}{2}

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{3}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{π}{3}

arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplifier

π - arcsin (\frac{3}{2}) : \frac{2 π}{3}

π - arcsin (\frac{3}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{3}{2}) = \frac{π}{3}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{3}

Simplifier

π - \frac{π}{3}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 3}{3}

= \frac{π 3}{3} - \frac{π}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 - π}{3}

Additionner les éléments similaires :

3 π - π = 2 π

= \frac{2 π}{3}

= \frac{2 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Réunir les intervalles

(π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn) or \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Exemples populaires

(arctan(x))>0

tan(θ)<0,sin(θ)>0

(2sin^2(x)-1)/(cos(x))<= 0

8sin^3(t)<0

pi/2-arctan(e^x)>0.1