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tan(t)-tan^2(t)+sec^3(t)>0

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Solution

tan(t)−tan2(t)+sec3(t)>0

Solution

2πn≤t<2π​+2πnor23π​+2πn<t≤2π+2πn
+2
La notation des intervalles
[2πn,2π​+2πn)∪(23π​+2πn,2π+2πn]
Décimale
2πn≤t<1.57079…+2πnor4.71238…+2πn<t≤6.28318…+2πn
étapes des solutions
tan(t)−tan2(t)+sec3(t)>0
Périodicité de tan(t)−tan2(t)+sec3(t):2π
La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodestan(t),tan2(t),sec3(t)
Périodicité de tan(t):π
La périodicité de tan(x)est π=π
Périodicité de tan2(t):π
Peˊriodiciteˊdetann(x)=Périodicité de tan(x)
Périodicité de tan(t):π
La périodicité de tan(x)est π=π
π
Périodicité de sec3(t):2π
Périodicité de secn(x)=Périodicité de sec(x),si n est impair
Périodicité de sec(t):2π
La périodicité de sec(x)est 2π=2π
2π
Combiner des périodes : π,π,2π
=2π
Exprimer avec sinus, cosinus
tan(t)−tan2(t)+sec3(t)>0
Utiliser l'identité trigonométrique de base: tan(x)=cos(x)sin(x)​cos(t)sin(t)​−(cos(t)sin(t)​)2+sec3(t)>0
Utiliser l'identité trigonométrique de base: sec(x)=cos(x)1​cos(t)sin(t)​−(cos(t)sin(t)​)2+(cos(t)1​)3>0
cos(t)sin(t)​−(cos(t)sin(t)​)2+(cos(t)1​)3>0
Simplifier cos(t)sin(t)​−(cos(t)sin(t)​)2+(cos(t)1​)3:cos3(t)cos2(t)sin(t)−sin2(t)cos(t)+1​
cos(t)sin(t)​−(cos(t)sin(t)​)2+(cos(t)1​)3
(cos(t)sin(t)​)2=cos2(t)sin2(t)​
(cos(t)sin(t)​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ba​)c=bcac​=cos2(t)sin2(t)​
(cos(t)1​)3=cos3(t)1​
(cos(t)1​)3
Appliquer la règle de l'exposant: (ba​)c=bcac​=cos3(t)13​
Appliquer la règle 1a=113=1=cos3(t)1​
=cos(t)sin(t)​−cos2(t)sin2(t)​+cos3(t)1​
Plus petit commun multiple de cos(t),cos2(t),cos3(t):cos3(t)
cos(t),cos2(t),cos3(t)
Plus petit commun multiple (PPCM)
Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent dans au moins une des expressions factorisées=cos3(t)
Ajuster des fractions sur la base du PPCM
Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son
dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM cos3(t)
Pour cos(t)sin(t)​:multiplier le dénominateur et le numérateur par cos2(t)cos(t)sin(t)​=cos(t)cos2(t)sin(t)cos2(t)​=cos3(t)sin(t)cos2(t)​
Pour cos2(t)sin2(t)​:multiplier le dénominateur et le numérateur par cos(t)cos2(t)sin2(t)​=cos2(t)cos(t)sin2(t)cos(t)​=cos3(t)sin2(t)cos(t)​
=cos3(t)sin(t)cos2(t)​−cos3(t)sin2(t)cos(t)​+cos3(t)1​
Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions: ca​±cb​=ca±b​=cos3(t)sin(t)cos2(t)−sin2(t)cos(t)+1​
cos3(t)cos2(t)sin(t)−sin2(t)cos(t)+1​>0
Trouver les points zéros et les points non définis de cos3(t)cos2(t)sin(t)−sin2(t)cos(t)+1​pour 0≤t<2π
Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zérocos3(t)cos2(t)sin(t)−sin2(t)cos(t)+1​=0
Trouver les points non définis:t=2π​,t=23π​
Trouver les zéros du dénominateurcos3(t)=0
Appliquer la règle xn=0⇒x=0
cos(t)=0
Solutions générales pour cos(t)=0
Tableau de périodicité cos(x) avec un cycle 2πn :
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
t=2π​+2πn,t=23π​+2πn
t=2π​+2πn,t=23π​+2πn
Solutions pour la plage 0≤t<2πt=2π​,t=23π​
2π​,23π​
Identifier les intervalles0<t<2π​,2π​<t<23π​,23π​<t<2π
Récapituler dans un tableau:cos2(t)sin(t)−sin2(t)cos(t)+1cos3(t)cos3(t)cos2(t)sin(t)−sin2(t)cos(t)+1​​t=0+++​0<t<2π​+++​t=2π​+0Indeˊfini​2π​<t<23π​+−−​t=23π​+0Indeˊfini​23π​<t<2π+++​t=2π+++​​
Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise : >0t=0or0<t<2π​or23π​<t<2πort=2π
Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent
0≤t<2π​or23π​<t<2πort=2π
L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles
t=0ou0<t<2π​
0≤t<2π​
L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles
0≤t<2π​ou23π​<t<2π
0≤t<2π​or23π​<t<2π
L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles
0≤t<2π​or23π​<t<2πout=2π
0≤t<2π​or23π​<t≤2π
0≤t<2π​or23π​<t≤2π
Appliquer la périodicité de tan(t)−tan2(t)+sec3(t)2πn≤t<2π​+2πnor23π​+2πn<t≤2π+2πn

Exemples populaires

-cos(2x)<= (sqrt(3))/2sin(x)<0,sec(x)>02sin(x)+3((sin(2x))/(2sin(x)))<0cos^2(x)>sin(x)cos(x)cos(θ)>0,sin(θ)>0
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