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Populaire Trigonométrie >

sin(x)+cos^2(x)<1

Solution

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

Solution

- π + 2 πn < x < 2 πn

La notation des intervalles

(- π + 2 πn, 2 πn)

Décimale

- 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

étapes des solutions

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) + 1 - sin^{2} (x) < 1

Soit :

u = sin (x)

u + 1 - u^{2} < 1

u + 1 - u^{2} < 1 : u < 0 or u > 1

u + 1 - u^{2} < 1

Récrire sous la forme standard

u + 1 - u^{2} < 1

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - u^{2} - 1 < 1 - 1

Simplifier

- u^{2} + u < 0

- u^{2} + u < 0

Factoriser

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Factoriser le terme commun

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) < 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

(- u (u - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Simplifier

u (u - 1) > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

u (u - 1)

Trouver les signes de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trouver les signes de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

u > 1

u > 1

Récapituler dans un tableau:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) < 0 or sin (x) > 1

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplifier

- π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) > 1 :

Faux pour toute

x \in R

sin (x) > 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

Réunir les intervalles

- π + 2 πn < x < 2 πn or Faux pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- π + 2 πn < x < 2 πn

Exemples populaires

-2cos(x+pi/6)>1

tan(x)*sin(x)> 1/(2cos(x))

solvefor c,sin(xcos(2x))<= 1

cos(5x)cos(x/4)-sin(5x)sin(x/4)>=-(sqrt(2))/2

2sin(x/2)-1>= 0