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Populaire Trigonométrie >

cos(x)+cos(2x)>0

Solution

cos (x) + cos (2 x) > 0

Solution

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

La notation des intervalles

(- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn)

Décimale

- 1.04719 \dots + 2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn

étapes des solutions

cos (x) + cos (2 x) > 0

Utiliser les identités suivantes:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- 1 + 2 cos^{2} (x) + cos (x) > 0

Soit :

u = cos (x)

- 1 + 2 u^{2} + u > 0

- 1 + 2 u^{2} + u > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

- 1 + 2 u^{2} + u > 0

Factoriser

- 1 + 2 u^{2} + u : (2 u - 1) (u + 1)

- 1 + 2 u^{2} + u

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} + u - 1

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} + u - 1

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

vrai

u = 2, v = - 1

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Factoriser

u

depuis

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Factoriser le terme commun

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 u - 1) (u + 1)

Trouver les signes de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 u < 1

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 u > 1

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trouver les signes de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

u > - 1

u > - 1

Récapituler dans un tableau:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) < - 1 or cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) < - 1 :

Faux pour toute

x \in R

cos (x) < - 1

Plage de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

cos

est

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = cos (x)

Réunir les intervalles

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

cos (x) > \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) > \frac{1}{2}

Pour

cos (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Simplifier

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Réunir les intervalles

Faux pour toute x \in R or - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

solvefor x,sin(x)=-1/2-pi<= x<= pi

0.86<= cos^{2(10)}((68)/n)

pi/2 cos((pi*x)/2)>0

cos(x)>(((1))/((2)))

-1<tan(x)<1