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受欢迎的三角函数 >

cos(x)+cos(2x)>0

解答

cos (x) + cos (2 x) > 0

解答

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

+2

间隔符号

(- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn)

十进制

- 1.04719 \dots + 2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn

求解步骤

cos (x) + cos (2 x) > 0

利用以下特性:

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

- 1 + 2 cos^{2} (x) + cos (x) > 0

令

: u = cos (x)

- 1 + 2 u^{2} + u > 0

- 1 + 2 u^{2} + u > 0 : u < - 1 or u > \frac{1}{2}

- 1 + 2 u^{2} + u > 0

分解

- 1 + 2 u^{2} + u : (2 u - 1) (u + 1)

- 1 + 2 u^{2} + u

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} + u - 1

将表达式拆分成组

2 u^{2} + u - 1

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = - 2

，检验是否

u + v = 1

检验

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 1

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

从

2 u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

因式分解出通项

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

因式分解出通项

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) > 0

确定区间

确定

(2 u - 1) (u + 1)

符号

确定

2 u - 1

符号

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

将

1

到右边

2 u - 1 = 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 u = 1

2 u = 1

两边除以

2

2 u = 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

化简

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

将

1

到右边

2 u - 1 < 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

2 u < 1

2 u < 1

两边除以

2

2 u < 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

化简

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

将

1

到右边

2 u - 1 > 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

2 u > 1

2 u > 1

两边除以

2

2 u > 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

化简

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

确定

u + 1

符号

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

将

1

到右边

u + 1 < 0

两边减去

1

u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

将

1

到右边

u + 1 > 0

两边减去

1

u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

u > - 1

u > - 1

总结如下表：

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

确定满足所需条件的区间：

> 0

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u < - 1 or u > \frac{1}{2}

u = cos (x)

代回

cos (x) < - 1 or cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) < - 1 :

对所有

x \in R

为假

cos (x) < - 1

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

假

令

y = cos (x)

合并区间

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y < - 1

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

cos (x) > \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) > \frac{1}{2}

对于

cos (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

化简

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

化简

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

合并区间

对所有 x \in R 为假 or - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

合并重叠的区间

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

流行的例子

solvefor x,sin(x)=-1/2-pi<= x<= pi

so l v e f or x, sin (x) = - \frac{1}{2} - π \leq x \leq π

0.86<= cos^{2(10)}((68)/n)

0.86 \leq cos^{2 (10)} (\frac{68}{n})

pi/2 cos((pi*x)/2)>0

\frac{π}{2} cos (\frac{π \cdot x}{2}) > 0

cos(x)>(((1))/((2)))

cos (x) > (\frac{( 1 )}{( 2 )})

- 1 < tan (x) < 1