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受欢迎的三角函数 >

csc(θ)<0\land (csc(θ))(cot(θ))>0

解答

csc (θ) < 0 and (csc (θ)) (cot (θ)) > 0

解答

对所有 θ \in R 为假

求解步骤

csc (θ) < 0 and (csc (θ)) (cot (θ)) > 0

csc (θ) < 0 :

对所有

θ \in R

为假

csc (θ) < 0

用 sin, cos 表示

csc (θ) < 0

使用基本三角恒等式:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( θ )} < 0

\frac{1}{sin ( θ )} < 0

若

\frac{1}{a} < 0

，则

a < 0

sin (θ) < 0

θ \in R 无解

csc (θ) cot (θ) > 0 : 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < 2 π + 2 πn

csc (θ) cot (θ) > 0

csc (θ) cot (θ)

的周期:

2 π

csc (θ) cot (θ)

包含以下函数及对应周期:

csc (θ)

的周期为

2 π

复合周期为:

= 2 π

用 sin, cos 表示

csc (θ) cot (θ) > 0

使用基本三角恒等式:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( θ )} cot (θ) > 0

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} > 0

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} > 0

化简

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

分式相乘:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot cos ( θ )}{sin ( θ ) sin ( θ )}

乘以:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ ) sin ( θ )}

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

数字相加:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} > 0

确定

0 \leq θ < 2 π

时

\frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

的零点和无定义点

要找到零点，将不等式设置为零

\frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

\frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

在

0 \leq θ < 2 π

范围内的解

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

确定无定义点:

θ = 0, θ = π

找到分母的零解

sin^{2} (θ) = 0

使用法则

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (θ) = 0

sin (θ) = 0

的通解

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

解

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

在

0 \leq θ < 2 π

范围内的解

θ = 0, θ = π

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

确定区间

0 < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π, π < θ < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < θ < 2 π

总结如下表：

cos (θ) sin^{2} (θ) \frac{c o s ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} θ = 0 + 0 未定义 0 < θ < \frac{π}{2} + + + θ = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < θ < π - + - θ = π - 0 未定义 π < θ < \frac{3 π}{2} - + - θ = \frac{3 π}{2} 0 + 0 \frac{3 π}{2} < θ < 2 π + + + θ = 2 π + 0 未定义

确定满足所需条件的区间：

> 0

0 < θ < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < θ < 2 π

使用周期

csc (θ) cot (θ)

2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < 2 π + 2 πn

合并区间

对所有 θ \in R 为假 and (2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < 2 π + 2 πn)

合并重叠的区间

对所有 θ \in R 为假

流行的例子

1 > arctan (x) > 0

cosh(θ)= 8/3 \land θ<0,sinh(θ)

cosh (θ) = \frac{8}{3} and θ < 0, sinh (θ)

cos(θ)=(sqrt(3))/2 \land csc(θ)<0

cos (θ) = \frac{3}{2} and csc (θ) < 0

0<= y<= sin(3.1416)

0 \leq y \leq sin (3.1416)

-1<= 2/(cos(x))<= 1

- 1 \leq \frac{2}{cos ( x )} \leq 1