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Beliebt Trigonometrie >

-1<sec(x)<1

Lösung

- 1 < sec (x) < 1

Lösung

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Schritte zur Lösung

- 1 < sec (x) < 1

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- 1 < sec (x) and sec (x) < 1

- 1 < sec (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

- 1 < sec (x)

Tausche die Seiten

sec (x) > - 1

Drücke mit sin, cos aus

sec (x) > - 1

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

Rewrite in standard form

\frac{1}{cos ( x )} > - 1

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

\frac{1}{cos ( x )} + 1 > - 1 + 1

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} + 1 > 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} + 1 : \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} > 0

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} > 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

1 + cos (x)

1 + cos (x) = 0 : cos (x) = - 1

1 + cos (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + cos (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + cos (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

cos (x) = - 1

cos (x) = - 1

1 + cos (x) < 0 : cos (x) < - 1

1 + cos (x) < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + cos (x) < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + cos (x) - 1 < 0 - 1

Vereinfache

cos (x) < - 1

cos (x) < - 1

1 + cos (x) > 0 : cos (x) > - 1

1 + cos (x) > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + cos (x) > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + cos (x) - 1 > 0 - 1

Vereinfache

cos (x) > - 1

cos (x) > - 1

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

1 + cos (x) cos (x) \frac{1 + c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < - 1 - - + cos (x) = - 1 0 - 0 - 1 < cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Unbestimmt cos (x) > 0 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

cos (x) < - 1 or cos (x) > 0

cos (x) < - 1 or cos (x) > 0

cos (x) < - 1 :

Falsch für alle

x \in R

cos (x) < - 1

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y < - 1

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Für

cos (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sec (x) < 1 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sec (x) < 1

Drücke mit sin, cos aus

sec (x) < 1

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} < 1

\frac{1}{cos ( x )} < 1

Rewrite in standard form

\frac{1}{cos ( x )} < 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

\frac{1}{cos ( x )} - 1 < 1 - 1

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - 1 < 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - 1 : \frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )} < 0

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )} < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{1 - cos ( x )}{cos ( x )}

Finde die Vorzeichen von

1 - cos (x)

1 - cos (x) = 0 : cos (x) = 1

1 - cos (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - cos (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - cos (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- cos (x) = - 1

- cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- cos ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

cos (x) = 1

cos (x) = 1

1 - cos (x) < 0 : cos (x) > 1

1 - cos (x) < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - cos (x) < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - cos (x) - 1 < 0 - 1

Vereinfache

- cos (x) < - 1

- cos (x) < - 1

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- cos (x) < - 1

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- cos (x)) (- 1) > (- 1) (- 1)

Vereinfache

cos (x) > 1

cos (x) > 1

1 - cos (x) > 0 : cos (x) < 1

1 - cos (x) > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - cos (x) > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - cos (x) - 1 > 0 - 1

Vereinfache

- cos (x) > - 1

- cos (x) > - 1

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

- cos (x) > - 1

Multipliziere beide Seiten mit -1 (kehre die Ungleichung um)

(- cos (x)) (- 1) < (- 1) (- 1)

Vereinfache

cos (x) < 1

cos (x) < 1

Finde die Vorzeichen von

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) : cos (x) = 0

Fasse in einer Tabelle zusammen:

1 - cos (x) cos (x) \frac{1 - c o s ( x )}{c o s ( x )} cos (x) < 0 + - - cos (x) = 0 + 0 Unbestimmt 0 < cos (x) < 1 + + + cos (x) = 1 0 + 0 cos (x) > 1 - + -

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

cos (x) < 0 or cos (x) > 1

cos (x) < 0 or cos (x) > 1

cos (x) < 0 : \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) < 0

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Vereinfache

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

Vereinfache

2 π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

Addiere gleiche Elemente:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) > 1 :

Falsch für alle

x \in R

cos (x) > 1

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y > 1

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Beliebte Beispiele

-1<tan(x/2)<-1/5

- 1 < tan (\frac{x}{2}) < - \frac{1}{5}

1<= sin(θ)<3

1 \leq sin (θ) < 3

cos(θ)>0\land sin(θ)<0

cos (θ) > 0 and sin (θ) < 0

tan(θ)=1\land cos(θ)>0,csc(θ)

tan (θ) = 1 and cos (θ) > 0, csc (θ)

-1<sin(x)<= 0

- 1 < sin (x) \leq 0