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Beliebt Trigonometrie >

cosh(θ)= 15/4 \land θ<0,sinh(θ)

Lösung

cosh (θ) = \frac{15}{4} and θ < 0, sinh (θ)

Lösung

θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

Dezimale

θ = - 1.99663 \dots

Schritte zur Lösung

cosh (θ) = \frac{15}{4} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{15}{4} : θ = ln (\frac{15 + 209}{4}), θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

cosh (θ) = \frac{15}{4}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (θ) = \frac{15}{4}

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{15}{4}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{15}{4}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{15}{4} : θ = ln (\frac{15 + 209}{4}), θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{15}{4}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 4 = 2 \cdot 15

Vereinfache

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 4 = 30

Wende Exponentenregel an

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 4 = 30

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 4 = 30

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 4 = 30

Schreibe die Gleichung um mit

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 4 = 30

Löse

(u + u^{- 1}) \cdot 4 = 30 : u = \frac{15 + 209}{4}, u = \frac{15 - 209}{4}

(u + u^{- 1}) \cdot 4 = 30

Fasse zusammen

(u + \frac{1}{u}) \cdot 4 = 30

Vereinfache

(u + \frac{1}{u}) \cdot 4 : 4 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 4

Apply the commutative law:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 4 = 4 (u + \frac{1}{u})

4 (u + \frac{1}{u})

4 (u + \frac{1}{u}) = 30

Schreibe

4 (u + \frac{1}{u})

um:

4 u + \frac{4}{u}

4 (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 u + 4 \cdot \frac{1}{u}

4 \cdot \frac{1}{u} = \frac{4}{u}

4 \cdot \frac{1}{u}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{u}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{u}

= 4 u + \frac{4}{u}

4 u + \frac{4}{u} = 30

Multipliziere beide Seiten mit

u

4 u + \frac{4}{u} = 30

Multipliziere beide Seiten mit

u

4 uu + \frac{4}{u} u = 30 u

Vereinfache

4 uu + \frac{4}{u} u = 30 u

Vereinfache

4 uu : 4 u^{2}

4 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

Vereinfache

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 4

4 u^{2} + 4 = 30 u

4 u^{2} + 4 = 30 u

4 u^{2} + 4 = 30 u

Löse

4 u^{2} + 4 = 30 u : u = \frac{15 + 209}{4}, u = \frac{15 - 209}{4}

4 u^{2} + 4 = 30 u

Verschiebe

30 u

auf die linke Seite

4 u^{2} + 4 = 30 u

Subtrahiere

30 u

von beiden Seiten

4 u^{2} + 4 - 30 u = 30 u - 30 u

Vereinfache

4 u^{2} + 4 - 30 u = 0

4 u^{2} + 4 - 30 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 30 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 30 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 30, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 4}

(- 30)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 2209

(- 30)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 3 0^{2} - 64

3 0^{2} = 900

= 900 - 64

Subtrahiere die Zahlen:

900 - 64 = 836

= 836

Primfaktorzerlegung von

836 : 2^{2} \cdot 11 \cdot 19

836

836

ist durch

2836 = 418 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 418

418

ist durch

2418 = 209 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 209

209

ist durch

11209 = 19 \cdot 11

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 19

2, 11, 19

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 11 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 11 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 11 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 11 \cdot 19

Fasse zusammen

= 2209

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 2 209}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 30 ) + 2 209}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 30 ) - 2 209}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 30 ) + 2 209}{2 \cdot 4} : \frac{15 + 209}{4}

\frac{- ( - 30 ) + 2 209}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{30 + 2 209}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{30 + 2 209}{8}

Faktorisiere

30 + 2209 : 2 (15 + 209)

30 + 2209

Schreibe um

= 2 \cdot 15 + 2209

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (15 + 209)

= \frac{2 ( 15 + 209 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{15 + 209}{4}

u = \frac{- ( - 30 ) - 2 209}{2 \cdot 4} : \frac{15 - 209}{4}

\frac{- ( - 30 ) - 2 209}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{30 - 2 209}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{30 - 2 209}{8}

Faktorisiere

30 - 2209 : 2 (15 - 209)

30 - 2209

Schreibe um

= 2 \cdot 15 - 2209

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (15 - 209)

= \frac{2 ( 15 - 209 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{15 - 209}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{15 + 209}{4}, u = \frac{15 - 209}{4}

u = \frac{15 + 209}{4}, u = \frac{15 - 209}{4}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(u + u^{- 1}) 4

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{15 + 209}{4}, u = \frac{15 - 209}{4}

u = \frac{15 + 209}{4}, u = \frac{15 - 209}{4}

Setze

u = e^{θ} w i e d er e in,

löse für

θ

Löse

e^{θ} = \frac{15 + 209}{4} : θ = ln (\frac{15 + 209}{4})

e^{θ} = \frac{15 + 209}{4}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{15 + 209}{4}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{15 + 209}{4})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{15 + 209}{4})

θ = ln (\frac{15 + 209}{4})

Löse

e^{θ} = \frac{15 - 209}{4} : θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

e^{θ} = \frac{15 - 209}{4}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{15 - 209}{4}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{15 - 209}{4})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

θ = ln (\frac{15 + 209}{4}), θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

θ = ln (\frac{15 + 209}{4}), θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

Kombiniere die Bereiche

(θ = ln (\frac{15 - 209}{4}) or θ = ln (\frac{15 + 209}{4})) and θ < 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

θ = ln (\frac{15 - 209}{4}) or θ = ln (\frac{15 + 209}{4}) and θ < 0

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

θ = ln (\frac{15 - 209}{4}) or θ = ln (\frac{15 + 209}{4})

und

θ < 0

θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

θ = ln (\frac{15 - 209}{4})

Graph

Beliebte Beispiele

2pi>sqrt(3)tan(θ)+1>= 0

2 π > 3 tan (θ) + 1 \geq 0

sin(3x)0<= x<= 2pi

sin (3 x) 0 \leq x \leq 2 π

tan(θ)=-32\land csc(θ)>0

tan (θ) = - 32 and csc (θ) > 0

sin(θ)<0\land tan(θ)>0

sin (θ) < 0 and tan (θ) > 0

-1<sin^2(x)<1

- 1 < sin^{2} (x) < 1