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Beliebt Trigonometrie >

sinh(2+i)

Lösung

sinh (2 + i)

Lösung

\frac{- cos ( 1 ) + e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + i \frac{sin ( 1 ) + e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Schritte zur Lösung

sinh (2 + i)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{2 + i} - e ^{- (2 + i)}}{2}

Vereinfache

\frac{e ^{2 + i} - e ^{- (2 + i)}}{2} : \frac{- cos ( - 1 ) + e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + i \frac{- sin ( - 1 ) + e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

\frac{e ^{2 + i} - e ^{- (2 + i)}}{2}

e^{2 + i} - e^{- (2 + i)} = e^{2} (cos (1) + i sin (1)) - e^{- 2} (cos (- 1) + i sin (- 1))

e^{2 + i} - e^{- (2 + i)}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{2} (cos (1) + i sin (1)) - e^{- (2 + i)}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{2} (cos (1) + i sin (1)) - e^{- 2} (cos (- 1) + i sin (- 1))

= \frac{e ^{2} ( cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) ) - e ^{- 2} ( cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 ) )}{2}

e^{- 2} (cos (- 1) + sin (- 1) i) = \frac{cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{e ^{2}}

e^{- 2} (cos (- 1) + sin (- 1) i)

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

e^{- 2} = \frac{1}{e ^{2}}

= \frac{1}{e ^{2}} (cos (- 1) + i sin (- 1))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i )}{e ^{2}}

1 \cdot (cos (- 1) + sin (- 1) i) = cos (- 1) + i sin (- 1)

1 \cdot (cos (- 1) + sin (- 1) i)

Multipliziere:

1 \cdot (cos (- 1) + sin (- 1) i) = (cos (- 1) + sin (- 1) i)

= (cos (- 1) + i sin (- 1))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos (- 1) + sin (- 1) i

= \frac{cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 )}{e ^{2}}

= \frac{e ^{2} ( cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) ) - \frac{c o s ( - 1 ) + i s i n ( - 1 )}{e ^{2}}}{2}

Füge

e^{2} (cos (1) + sin (1) i) - \frac{cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e ^{2}}

zusammen:

\frac{e ^{4} cos ( 1 ) + e ^{4} i sin ( 1 ) - cos ( - 1 ) - i sin ( - 1 )}{e ^{2}}

e^{2} (cos (1) + sin (1) i) - \frac{cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e ^{2}}

Wandle das Element in einen Bruch um:

e^{2} (cos (1) + i sin (1)) = \frac{e ^{2} ( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e ^{2}}{e ^{2}}

= \frac{e ^{2} ( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e ^{2}}{e ^{2}} - \frac{cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i}{e ^{2}}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{2} ( cos ( 1 ) + sin ( 1 ) i ) e ^{2} - ( cos ( - 1 ) + sin ( - 1 ) i )}{e ^{2}}

e^{2} (cos (1) + sin (1) i) e^{2} - (cos (- 1) + sin (- 1) i) = e^{4} (cos (1) + i sin (1)) - (cos (- 1) + i sin (- 1))

e^{2} (cos (1) + sin (1) i) e^{2} - (cos (- 1) + sin (- 1) i)

e^{2} (cos (1) + sin (1) i) e^{2} = e^{4} (cos (1) + i sin (1))

e^{2} (cos (1) + sin (1) i) e^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{2} e^{2} = e^{2 + 2}

= (cos (1) + sin (1) i) e^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= (cos (1) + sin (1) i) e^{4}

= e^{4} (cos (1) + i sin (1)) - (cos (- 1) + i sin (- 1))

= \frac{e ^{4} ( cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) ) - ( cos ( - 1 ) + i sin ( - 1 ) )}{e ^{2}}

Multipliziere aus

(cos (1) + sin (1) i) e^{4} - (cos (- 1) + sin (- 1) i) : e^{4} cos (1) + e^{4} i sin (1) - cos (- 1) - sin (- 1) i

(cos (1) + sin (1) i) e^{4} - (cos (- 1) + sin (- 1) i)

= e^{4} (cos (1) + i sin (1)) - (cos (- 1) + i sin (- 1))

Multipliziere aus

e^{4} (cos (1) + sin (1) i) : e^{4} cos (1) + e^{4} i sin (1)

e^{4} (cos (1) + sin (1) i)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = e^{4}, b = cos (1), c = sin (1) i

= e^{4} cos (1) + e^{4} sin (1) i

= e^{4} cos (1) + e^{4} i sin (1)

= e^{4} cos (1) + e^{4} i sin (1) - (cos (- 1) + sin (- 1) i)

- (cos (- 1) + sin (- 1) i) : - cos (- 1) - sin (- 1) i

- (cos (- 1) + sin (- 1) i)

Setze Klammern

= - (cos (- 1)) - (sin (- 1) i)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - cos (- 1) - sin (- 1) i

= e^{4} cos (1) + e^{4} i sin (1) - cos (- 1) - sin (- 1) i

= \frac{e ^{4} cos ( 1 ) + e ^{4} i sin ( 1 ) - cos ( - 1 ) - i sin ( - 1 )}{e ^{2}}

= \frac{\frac{e ^{4} c o s ( 1 ) + e ^{4} i s i n ( 1 ) - c o s ( - 1 ) - i s i n ( - 1 )}{e ^{2}}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{4} cos ( 1 ) + e ^{4} i sin ( 1 ) - cos ( - 1 ) - sin ( - 1 ) i}{e ^{2} \cdot 2}

Schreibe

\frac{e ^{4} cos ( 1 ) + e ^{4} i sin ( 1 ) - cos ( - 1 ) - sin ( - 1 ) i}{e ^{2} \cdot 2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{e ^{4} cos ( 1 ) - cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{4} sin ( 1 ) - sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} i

\frac{e ^{4} cos ( 1 ) + e ^{4} i sin ( 1 ) - cos ( - 1 ) - sin ( - 1 ) i}{e ^{2} \cdot 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{4} cos ( 1 ) + e ^{4} i sin ( 1 ) - cos ( - 1 ) - sin ( - 1 ) i}{e ^{2} \cdot 2} = \frac{e ^{4} cos ( 1 )}{e ^{2} \cdot 2} + \frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{e ^{2} \cdot 2} - \frac{cos ( - 1 )}{e ^{2} \cdot 2} - \frac{sin ( - 1 ) i}{e ^{2} \cdot 2}

= \frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{2 e ^{2}} - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} - \frac{i sin ( - 1 )}{2 e ^{2}}

Fasse gleiche Terme zusammen

= - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} - \frac{i sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Streiche

\frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2}

\frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}}

Streiche

\frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2}

\frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{4}}{e ^{2}} = e^{4 - 2}

= \frac{e ^{4 - 2} cos ( 1 )}{2}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 2 = 2

= \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2}

= \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2}

= - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} - \frac{i sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} + \frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Streiche

\frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2}

\frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Streiche

\frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{2 e ^{2}} : \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2}

\frac{e ^{4} i sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{e ^{4}}{e ^{2}} = e^{4 - 2}

= \frac{i e ^{4 - 2} sin ( 1 )}{2}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 2 = 2

= \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2}

= \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2}

= - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} - \frac{i sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} + \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2}

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{2} i sin ( 1 )}{2} - \frac{i sin ( - 1 )}{2 e ^{2}}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}}) + (\frac{e ^{2} sin ( 1 )}{2} - \frac{sin ( - 1 )}{2 e ^{2}}) i

\frac{e ^{2} sin ( 1 )}{2} - \frac{sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} sin ( 1 ) - sin ( - 1 )}{2 e ^{2}}

\frac{e ^{2} sin ( 1 )}{2} - \frac{sin ( - 1 )}{2 e ^{2}}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 e^{2} : 2 e^{2}

2, 2 e^{2}

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 : 2

2, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

2

vorkommt

= 2

Multipliziere die Zahlen:

2 = 2

= 2

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

2

oder

2 e^{2}

auftauchen.

= 2 e^{2}

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

2 e^{2}

Für

\frac{e ^{2} sin ( 1 )}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

e^{2}

\frac{e ^{2} sin ( 1 )}{2} = \frac{e ^{2} sin ( 1 ) e ^{2}}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

= \frac{e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}} - \frac{sin ( - 1 )}{2 e ^{2}}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{4} sin ( 1 ) - sin ( - 1 )}{2 e ^{2}}

= (\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}}) + \frac{e ^{4} sin ( 1 ) - sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} i

\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} cos ( 1 ) - cos ( - 1 )}{2 e ^{2}}

\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 e^{2} : 2 e^{2}

2, 2 e^{2}

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 2 : 2

2, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

2

vorkommt

= 2

Multipliziere die Zahlen:

2 = 2

= 2

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

2

oder

2 e^{2}

auftauchen.

= 2 e^{2}

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

2 e^{2}

Für

\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

e^{2}

\frac{e ^{2} cos ( 1 )}{2} = \frac{e ^{2} cos ( 1 ) e ^{2}}{2 e ^{2}} = \frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}}

= \frac{e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} - \frac{cos ( - 1 )}{2 e ^{2}}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{4} cos ( 1 ) - cos ( - 1 )}{2 e ^{2}}

= \frac{e ^{4} cos ( 1 ) - cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{4} sin ( 1 ) - sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} i

= \frac{e ^{4} cos ( 1 ) - cos ( - 1 )}{2 e ^{2}} + \frac{e ^{4} sin ( 1 ) - sin ( - 1 )}{2 e ^{2}} i

= \frac{- cos ( - 1 ) + e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + i \frac{- sin ( - 1 ) + e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Verwende die folgende Eigenschaft:

sin (- x) = - sin (x)

sin (- 1) = - sin (1)

= \frac{- cos ( - 1 ) + e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + i \frac{- ( - sin ( 1 ) ) + e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Verwende die folgende Eigenschaft:

cos (- x) = cos (x)

cos (- 1) = cos (1)

= \frac{- cos ( 1 ) + e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + i \frac{- ( - sin ( 1 ) ) + e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Vereinfache

= \frac{- cos ( 1 ) + e ^{4} cos ( 1 )}{2 e ^{2}} + i \frac{sin ( 1 ) + e ^{4} sin ( 1 )}{2 e ^{2}}

Beliebte Beispiele

4cot(60)-2cos(45)+tan(180)