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Popular Trigonometria >

tan(x)+cot(x)=6,sin^6(x)+cos^6(x)

Solução

tan (x) + cot (x) = 6, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Passos da solução

tan (x) + cot (x) = 6, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Subtrair

6

de ambos os lados

tan (x) + cot (x) - 6 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 6 + cot (x) + tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 6 + cot (x) + \frac{1}{cot ( x )}

- 6 + cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Usando o método de substituição

- 6 + cot (x) + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Sea:

cot (x) = u

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0 : u = 3 + 22, u = 3 - 22

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 6 + u + \frac{1}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- 6 u + uu + \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

- 6 u + uu + \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

uu : u^{2}

uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplificar

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 1

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

Resolver

- 6 u + u^{2} + 1 = 0 : u = 3 + 22, u = 3 - 22

- 6 u + u^{2} + 1 = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Subtrair:

36 - 4 = 32

= 32

Decomposição em fatores primos de

32 : 2^{5}

32

32

dividida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

dividida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

Fatorar

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Reescrever como

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Fatorar o termo comum

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

u = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

Fatorar

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Reescrever como

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Fatorar o termo comum

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- 6 + u + \frac{1}{u}

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Substituir na equação

u = cot (x)

cot (x) = 3 + 22, cot (x) = 3 - 22

cot (x) = 3 + 22, cot (x) = 3 - 22

cot (x) = 3 + 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x) :

Sem solução

cot (x) = 3 + 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cot (x) = 3 + 22

Soluções gerais para

cot (x) = 3 + 22

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot (3 + 22) + πn

x = arccot (3 + 22) + πn

Soluções para o intervalo

sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cot (x) = 3 - 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x) :

Sem solução

cot (x) = 3 - 22, sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cot (x) = 3 - 22

Soluções gerais para

cot (x) = 3 - 22

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot (3 - 22) + πn

x = arccot (3 - 22) + πn

Soluções para o intervalo

sin^{6} (x) + cos^{6} (x)

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Gráfico

Exemplos populares

3cos(x)=3cos(2x)

3 cos (x) = 3 cos (2 x)

sin(3x)+sin(x)=2cos^2(x)

sin (3 x) + sin (x) = 2 cos^{2} (x)

tan(θ)= 5/9

tan (θ) = \frac{5}{9}

2sin(x)+3cos(x)=0

2 sin (x) + 3 cos (x) = 0

tan(x)+cot(x)=2sqrt(2)

tan (x) + cot (x) = 22