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Populaire Trigonométrie >

sec^2(θ)+csc^2(θ)=4

Solution

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

Solution

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Degrés

θ = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) = 4

Soustraire

4

des deux côtés

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ) - 4 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

- 4 + csc^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + sec^{2} (θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Simplifier

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

- 4 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 4 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Convertir un élément en fraction:

4 = \frac{4}{1}

= - \frac{4}{1} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Plus petit commun multiple de

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ) : sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

1, sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent dans au moins une des expressions factorisées

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Pour

\frac{4}{1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

\frac{4}{1} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Pour

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos^{2} (θ)

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Pour

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin^{2} (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- 4 sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + 1

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = 0

Factoriser

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) : (1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ))

1 - 4 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

Récrire

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

comme

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

1 - 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Récrire

4

comme

2^{2}

= 1 - 2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

= 1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - (2 sin (θ) cos (θ))^{2} = (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

= (2 sin (θ) cos (θ) + 1) (- 2 sin (θ) cos (θ) + 1)

(1 + 2 sin (θ) cos (θ)) (1 - 2 sin (θ) cos (θ)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 or 1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 + 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 + 2 sin (θ) cos (θ)

Utiliser l'identité d'angle double:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 + sin (2 θ)

1 + sin (2 θ) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + sin (2 θ) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

Simplifier

sin (2 θ) = - 1

sin (2 θ) = - 1

Solutions générales pour

sin (2 θ) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Résoudre

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn : θ = \frac{3 π}{4} + πn

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplifier

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + πn

1 - 2 sin (θ) cos (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 - 2 sin (θ) cos (θ)

Utiliser l'identité d'angle double:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= 1 - sin (2 θ)

1 - sin (2 θ) = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - sin (2 θ) = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - sin (2 θ) - 1 = 0 - 1

Simplifier

- sin (2 θ) = - 1

- sin (2 θ) = - 1

Diviser les deux côtés par

- 1

- sin (2 θ) = - 1

Diviser les deux côtés par

- 1

\frac{- sin ( 2 θ )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplifier

sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = 1

Solutions générales pour

sin (2 θ) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Résoudre

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = \frac{π}{4} + πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplifier

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{3 π}{4} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Graphe

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