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Popolare Trigonometria >

2cos^3(x)-cos^2(x)+2cos(x)-1=0

Soluzione

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 = 0

Soluzione

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

+1

Gradi

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 = 0

Risolvi per sostituzione

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 = 0

Sia:

cos (x) = u

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 = 0

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = i, u = - i

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 = 0

Fattorizza

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 : (2 u - 1) (u^{2} + 1)

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1

= (2 u^{3} - u^{2}) + (2 u - 1)

Fattorizza

u^{2}

da

2 u^{3} - u^{2} : u^{2} (2 u - 1)

2 u^{3} - u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 2 u u^{2} - u^{2}

Fattorizzare dal termine comune

u^{2}

= u^{2} (2 u - 1)

= (2 u - 1) + u^{2} (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (u^{2} + 1)

(2 u - 1) (u^{2} + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

If

ab = 0

allora

a = 0

o

b = 0

2 u - 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

Risolvi

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Risolvi

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u^{2} + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Semplifica

- 1 : i

- 1

Applicare la regola del numero immaginario:

- 1 = i

= i

Semplifica

- - 1 : - i

- - 1

Applicare la regola del numero immaginario:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Le soluzioni sono

u = \frac{1}{2}, u = i, u = - i

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = i, cos (x) = - i

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = i, cos (x) = - i

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = i :

Nessuna soluzione

cos (x) = i

Nessuna soluzione

cos (x) = - i :

Nessuna soluzione

cos (x) = - i

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin (x) = \frac{2 π}{3}

cos(3x)+sin(2x)+cos(x)=0

cos (3 x) + sin (2 x) + cos (x) = 0

tan (2 θ) = 1.333

2 sec (x) + 4 = 0

2cos(x)=3sin(x)

2 cos (x) = 3 sin (x)