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Beliebt Trigonometrie >

4sin^2(x)=(csc^2(x))/4

Lösung

4 sin^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Lösung

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Subtrahiere

\frac{csc ^{2} ( x )}{4}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4} = 0

Vereinfache

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4} : \frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4}

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 sin^{2} (x) = \frac{4 sin ^{2} ( x ) 4}{4}

= \frac{4 sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( x ) \cdot 4 - csc ^{2} ( x )}{4}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 = 16

= \frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4}

\frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = 0

Faktorisiere

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x) : (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Schreibe

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

um:

(4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Schreibe

16

um:

4^{2}

= 4^{2} sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} sin^{2} (x) = (4 sin (x))^{2}

= (4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

= (4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x) = (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

= (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

(4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

4 sin (x) + csc (x) = 0 or 4 sin (x) - csc (x) = 0

4 sin (x) + csc (x) = 0 :

Keine Lösung

4 sin (x) + csc (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

csc (x) + 4 sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Löse mit Substitution

csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Angenommen:

csc (x) = u

u + \frac{4}{u} = 0

u + \frac{4}{u} = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u + \frac{4}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

u + \frac{4}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 4

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} + 4 = 0

u^{2} + 4 = 0

u^{2} + 4 = 0

Löse

u^{2} + 4 = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} + 4 = 0

Verschiebe

4

auf die rechte Seite

u^{2} + 4 = 0

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

Vereinfache

u^{2} = - 4

u^{2} = - 4

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 4, u = - - 4

Vereinfache

- 4 : 2 i

- 4

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 4 = - 1 4

= - 1 4

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 4 i

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

Vereinfache

- - 4 : - 2 i

- - 4

Vereinfache

- 4 : 2 i

- 4

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 4 = - 1 4

= - 1 4

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 4 i

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Setze in

u = csc (x)

ein

csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i

csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i

csc (x) = 2 i :

Keine Lösung

csc (x) = 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

csc (x) = - 2 i :

Keine Lösung

csc (x) = - 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung

4 sin (x) - csc (x) = 0 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

4 sin (x) - csc (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- csc (x) + 4 sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= - csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

- csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Löse mit Substitution

- csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Angenommen:

csc (x) = u

- u + \frac{4}{u} = 0

- u + \frac{4}{u} = 0 : u = 2, u = - 2

- u + \frac{4}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- u + \frac{4}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- uu : - u^{2}

- uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Vereinfache

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 4

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 4 = 0

- u^{2} + 4 = 0

- u^{2} + 4 = 0

Löse

- u^{2} + 4 = 0 : u = 2, u = - 2

- u^{2} + 4 = 0

Verschiebe

4

auf die rechte Seite

- u^{2} + 4 = 0

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

- u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

Vereinfache

- u^{2} = - 4

- u^{2} = - 4

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 4

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 4

u^{2} = 4

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 4, u = - 4

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

- 4 = - 2

- 4

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= - 2

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- u + \frac{4}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 2, u = - 2

Setze in

u = csc (x)

ein

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2

Allgemeine Lösung für

csc (x) = 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2

Allgemeine Lösung für

csc (x) = - 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin(3x)=2

2 sin (3 x) = 2

sin(x)=(sqrt(2))/3

sin (x) = \frac{2}{3}

2(-cos^2(x)-sin(x)+sin^2(x))=0

2 (- cos^{2} (x) - sin (x) + sin^{2} (x)) = 0

cos(x)-sin(x)= 2/3

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

tan(x)= 4/2

tan (x) = \frac{4}{2}