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Beliebt Trigonometrie >

4sin(x)=cos(x)+2

Lösung

4 sin (x) = cos (x) + 2

Lösung

x = 2.88012 \dots + 2 πn, x = 0.75142 \dots + 2 πn

Grad

x = 165.01910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 43.05338 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (x) = cos (x) + 2

Quadriere beide Seiten

(4 sin (x))^{2} = (cos (x) + 2)^{2}

Subtrahiere

(cos (x) + 2)^{2}

von beiden Seiten

16 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - cos^{2} (x) + 16 sin^{2} (x) - 4 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 4 cos (x)

Vereinfache

- 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 4 cos (x) : - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

- 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 4 cos (x)

Multipliziere aus

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x)

Vereinfache

- 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x) : - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

- 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 4 + 16

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) = - 17 cos^{2} (x)

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 4 + 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 16 = 12

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

12 - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

12 - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

12 - 17 u^{2} - 4 u = 0

12 - 17 u^{2} - 4 u = 0 : u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

12 - 17 u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 17 u^{2} - 4 u + 12 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 17 u^{2} - 4 u + 12 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 17, b = - 4, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 17 ) \cdot 12}{2 ( - 17 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 17 ) \cdot 12}{2 ( - 17 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 17) \cdot 12 = 813

(- 4)^{2} - 4 (- 17) \cdot 12

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 17 \cdot 12 = 816

= 4^{2} + 816

4^{2} = 16

= 16 + 816

Addiere die Zahlen:

16 + 816 = 832

= 832

Primfaktorzerlegung von

832 : 2^{6} \cdot 13

832

832

ist durch

2832 = 416 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 416

416

ist durch

2416 = 208 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 208

208

ist durch

2208 = 104 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 104

104

ist durch

2104 = 52 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13

Fasse zusammen

= 813

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 8 13}{2 ( - 17 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 8 13}{2 ( - 17 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 8 13}{2 ( - 17 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 8 13}{2 ( - 17 )} : - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{- ( - 4 ) + 8 13}{2 ( - 17 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 8 13}{- 2 \cdot 17}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{4 + 8 13}{- 34}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 8 13}{34}

Streiche

\frac{4 + 8 13}{34} : \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{4 + 8 13}{34}

Faktorisiere

4 + 813 : 4 (1 + 213)

4 + 813

Schreibe um

= 4 \cdot 1 + 4 \cdot 213

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + 213)

= \frac{4 ( 1 + 2 13 )}{34}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

= - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

u = \frac{- ( - 4 ) - 8 13}{2 ( - 17 )} : \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

\frac{- ( - 4 ) - 8 13}{2 ( - 17 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 8 13}{- 2 \cdot 17}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{4 - 8 13}{- 34}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 813 = - (813 - 4)

= \frac{8 13 - 4}{34}

Faktorisiere

813 - 4 : 4 (213 - 1)

813 - 4

Schreibe um

= 4 \cdot 213 - 4 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (213 - 1)

= \frac{4 ( 2 13 - 1 )}{34}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17} : x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17} : x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 sin (x) = cos (x) + 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (x) = cos (x) + 2

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Fasse zusammen

1.03398 \dots = 1.03398 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (x) = cos (x) + 2

ein, um zu lösen

4 sin (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Fasse zusammen

- 1.03398 \dots = 1.03398 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (x) = cos (x) + 2

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Fasse zusammen

2.73071 \dots = 2.73071 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (x) = cos (x) + 2

ein, um zu lösen

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Fasse zusammen

- 2.73071 \dots = 2.73071 \dots

\Rightarrow Falsch

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.88012 \dots + 2 πn, x = 0.75142 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(β+10)=cot(2β-10)

tan (β + 1 0^{\circ}) = cot (2 β - 1 0^{\circ})

1-2cos^2(8x)=sin(4x)

1 - 2 cos^{2} (8 x) = sin (4 x)

tan(x-10)=0

tan (x - 1 0^{\circ}) = 0

cos^2(x)=3sin(x)cos(x)

cos^{2} (x) = 3 sin (x) cos (x)

sin(y)=(50)/(65.3)

sin (y) = \frac{50}{65.3}