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Beliebt Trigonometrie >

2tan(x)+cos(x)=0

Lösung

2 tan (x) + cos (x) = 0

Lösung

x = - 0.42707 \dots + 2 πn, x = π + 0.42707 \dots + 2 πn

Grad

x = - 24.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 204.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 tan (x) + cos (x) = 0

Drücke mit sin, cos aus

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + cos (x) = 0

Vereinfache

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + cos (x) : \frac{2 sin ( x ) + cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + cos (x)

Multipliziere

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} + cos (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} + \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2 + cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

sin (x) \cdot 2 + cos (x) cos (x) = 2 sin (x) + cos^{2} (x)

sin (x) \cdot 2 + cos (x) cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= 2 sin (x) + cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) + cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 sin ( x ) + cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (x) + cos^{2} (x) = 0

Subtrahiere

cos^{2} (x)

von beiden Seiten

2 sin (x) = - cos^{2} (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (- cos^{2} (x))^{2}

Subtrahiere

(- cos^{2} (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - cos^{4} (x) = 0

Faktorisiere

4 sin^{2} (x) - cos^{4} (x) : (2 sin (x) + cos^{2} (x)) (2 sin (x) - cos^{2} (x))

4 sin^{2} (x) - cos^{4} (x)

Schreibe

4 sin^{2} (x) - cos^{4} (x)

um:

(2 sin (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

4 sin^{2} (x) - cos^{4} (x)

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - cos^{4} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= 2^{2} sin^{2} (x) - (cos^{2} (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} sin^{2} (x) = (2 sin (x))^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

= (2 sin (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2} = (2 sin (x) + cos^{2} (x)) (2 sin (x) - cos^{2} (x))

= (2 sin (x) + cos^{2} (x)) (2 sin (x) - cos^{2} (x))

(2 sin (x) + cos^{2} (x)) (2 sin (x) - cos^{2} (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

2 sin (x) + cos^{2} (x) = 0 or 2 sin (x) - cos^{2} (x) = 0

2 sin (x) + cos^{2} (x) = 0 : x = arcsin (1 - 2) + 2 πn, x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

2 sin (x) + cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (x) + 2 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x)

1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 - u^{2} + 2 u = 0

1 - u^{2} + 2 u = 0 : u = 1 - 2, u = 1 + 2

1 - u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 22

2^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 2 + 2 2}{2 ( - 1 )} : 1 - 2

\frac{- 2 + 2 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 2}{2}

Streiche

\frac{- 2 + 2 2}{2} : 2 - 1

\frac{- 2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

- 2 + 22 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 2

= - (2 - 1)

Setze Klammern

= - (- 1) - (2)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= 1 - 2

u = \frac{- 2 - 2 2}{2 ( - 1 )} : 1 + 2

\frac{- 2 - 2 2}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 22 = - (2 + 22)

= \frac{2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1 - 2, u = 1 + 2

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1 - 2, sin (x) = 1 + 2

sin (x) = 1 - 2, sin (x) = 1 + 2

sin (x) = 1 - 2 : x = arcsin (1 - 2) + 2 πn, x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

sin (x) = 1 - 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = 1 - 2

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1 - 2

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (1 - 2) + 2 πn, x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

x = arcsin (1 - 2) + 2 πn, x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

sin (x) = 1 + 2 :

Keine Lösung

sin (x) = 1 + 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (1 - 2) + 2 πn, x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

2 sin (x) - cos^{2} (x) = 0 : x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

2 sin (x) - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos^{2} (x) + 2 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - (1 - sin^{2} (x)) + 2 sin (x)

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= - 1 + sin^{2} (x) + 2 sin (x)

- 1 + sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 + u^{2} + 2 u = 0

- 1 + u^{2} + 2 u = 0 : u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

- 1 + u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 + 2

\frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

- 2 + 22 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 2

u = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 - 2

\frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

- 2 - 22 : - 2 (1 + 2)

- 2 - 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 2)

= - \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 2)

Negiere die Vorzeichen

- (1 + 2) = - 1 - 2

= - 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1 + 2, sin (x) = - 1 - 2

sin (x) = - 1 + 2, sin (x) = - 1 - 2

sin (x) = - 1 + 2 : x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

sin (x) = - 1 + 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - 1 + 2

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1 + 2

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

sin (x) = - 1 - 2 :

Keine Lösung

sin (x) = - 1 - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (1 - 2) + 2 πn, x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 tan (x) + cos (x) = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (1 - 2) + 2 πn :

Wahr

arcsin (1 - 2) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (1 - 2) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (1 - 2) + 2 π 1

2 tan (x) + cos (x) = 0

ein, um zu lösen

2 tan (arcsin (1 - 2) + 2 π 1) + cos (arcsin (1 - 2) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1

2 tan (x) + cos (x) = 0

ein, um zu lösen

2 tan (π + arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1) + cos (π + arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (- 1 + 2) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1

2 tan (x) + cos (x) = 0

ein, um zu lösen

2 tan (arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1) + cos (arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

1.82035 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1

2 tan (x) + cos (x) = 0

ein, um zu lösen

2 tan (π - arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1) + cos (π - arcsin (- 1 + 2) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

- 1.82035 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (1 - 2) + 2 πn, x = π + arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.42707 \dots + 2 πn, x = π + 0.42707 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x)+sec(2x)=11

cos (2 x) + sec (2 x) = 11

5tan(x)-4=0

5 tan (x) - 4 = 0

3tan(x)sin(x)-2tan(x)=0

3 tan (x) sin (x) - 2 tan (x) = 0

csc^2(x)+3csc(x)-4=0

csc^{2} (x) + 3 csc (x) - 4 = 0

cos^2(φ)=sin^2(φ)

cos^{2} (φ) = sin^{2} (φ)