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人気のある三角関数 >

cos(x)-sin(x)= 1/2

解

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

解

x = π + 1.14676 \dots + 2 πn, x = 0.42403 \dots + 2 πn

+1

度

x = 245.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24.29518 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

両辺に

sin (x)

を足す

cos (x) = \frac{1}{2} + sin (x)

両辺を2乗する

cos^{2} (x) = (\frac{1}{2} + sin (x))^{2}

両辺から

(\frac{1}{2} + sin (x))^{2}

を引く

cos^{2} (x) - \frac{1}{4} - sin (x) - sin^{2} (x) = 0

簡素化

cos^{2} (x) - \frac{1}{4} - sin (x) - sin^{2} (x) : \frac{4 cos ^{2} ( x ) - 1 - 4 sin ( x ) - 4 sin ^{2} ( x )}{4}

cos^{2} (x) - \frac{1}{4} - sin (x) - sin^{2} (x)

元を分数に変換する:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x ) 4}{4}, sin (x) = \frac{sin ( x ) 4}{4}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) 4}{4}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} - \frac{sin ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 4 - 1 - sin ( x ) \cdot 4 - sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) - 1 - 4 sin ( x ) - 4 sin ^{2} ( x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos^{2} (x) - 1 - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + 4 cos^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x)

簡素化

- 1 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) : - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 3

- 1 + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x)

拡張

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 1 + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x)

簡素化

- 1 + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) : - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 3

- 1 + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 1 + 4

類似した元を足す:

- 4 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 8 sin^{2} (x)

= - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 1 + 4

数を足す/引く:

- 1 + 4 = 3

= - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 3

= - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 3

= - 8 sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 3

3 - 4 sin (x) - 8 sin^{2} (x) = 0

置換で解く

3 - 4 sin (x) - 8 sin^{2} (x) = 0

仮定:

sin (x) = u

3 - 4 u - 8 u^{2} = 0

3 - 4 u - 8 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

3 - 4 u - 8 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} - 4 u + 3 = 0

解くとthe二次式

- 8 u^{2} - 4 u + 3 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 8, b = - 4, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 3}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 3}{2 ( - 8 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 8) \cdot 3 = 47

(- 4)^{2} - 4 (- 8) \cdot 3

規則を適用

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 3

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 3

数を乗じる:

4 \cdot 8 \cdot 3 = 96

= 4^{2} + 96

4^{2} = 16

= 16 + 96

数を足す:

16 + 96 = 112

= 112

以下の素因数分解:

112 : 2^{4} \cdot 7

112

1122112 = 56 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 56

56256 = 28 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 28

28228 = 14 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14

14214 = 7 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{4} \cdot 7

= 2^{4} \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 7 2^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 7

改良

= 47

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 7}{2 ( - 8 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 7}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 7}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 7}{2 ( - 8 )} : - \frac{1 + 7}{4}

\frac{- ( - 4 ) + 4 7}{2 ( - 8 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 4 7}{- 2 \cdot 8}

数を乗じる:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4 + 4 7}{- 16}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 4 7}{16}

キャンセル

\frac{4 + 4 7}{16} : \frac{1 + 7}{4}

\frac{4 + 4 7}{16}

因数

4 + 47 : 4 (1 + 7)

4 + 47

書き換え

= 4 \cdot 1 + 47

共通項をくくり出す

4

= 4 (1 + 7)

= \frac{4 ( 1 + 7 )}{16}

共通因数を約分する:

4

= \frac{1 + 7}{4}

= - \frac{1 + 7}{4}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 7}{2 ( - 8 )} : \frac{7 - 1}{4}

\frac{- ( - 4 ) - 4 7}{2 ( - 8 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 4 7}{- 2 \cdot 8}

数を乗じる:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{4 - 4 7}{- 16}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 47 = - (47 - 4)

= \frac{4 7 - 4}{16}

因数

47 - 4 : 4 (7 - 1)

47 - 4

書き換え

= 47 - 4 \cdot 1

共通項をくくり出す

4

= 4 (7 - 1)

= \frac{4 ( 7 - 1 )}{16}

共通因数を約分する:

4

= \frac{7 - 1}{4}

二次equationの解:

u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1 + 7}{4}, sin (x) = \frac{7 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 7}{4}, sin (x) = \frac{7 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 7}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 7}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = - \frac{1 + 7}{4}

以下の一般解

sin (x) = - \frac{1 + 7}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{7 - 1}{4} : x = arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{7 - 1}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

sin (x) = \frac{7 - 1}{4}

以下の一般解

sin (x) = \frac{7 - 1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

偽

arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

の挿入向け

x = arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

cos (arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - sin (arcsin (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = \frac{1}{2}

改良

1.32287 \dots = 0.5

\Rightarrow 偽

解答を確認する

π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

真

π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

の挿入向け

x = π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

cos (π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - sin (π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = \frac{1}{2}

改良

0.5 = 0.5

\Rightarrow 真

解答を確認する

arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

真

arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

の挿入向け

x = arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

cos (arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - sin (arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = \frac{1}{2}

改良

0.5 = 0.5

\Rightarrow 真

解答を確認する

π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

偽

π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{1}{2}

の挿入向け

x = π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

cos (π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - sin (π - arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = \frac{1}{2}

改良

- 1.32287 \dots = 0.5

\Rightarrow 偽

x = π + arcsin (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = π + 1.14676 \dots + 2 πn, x = 0.42403 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

cos (x) = - \frac{4}{9}

sin(x+20)=cos(x-50)

sin (x + 2 0^{\circ}) = cos (x - 5 0^{\circ})

A=2sin(30+x)-cos(x)

A = 2 sin (3 0^{\circ} + x) - cos (x)

sin(x)= 1/4 ,sin(2x)

sin (x) = \frac{1}{4}, sin (2 x)

sin (θ) = 0.422