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Beliebt Trigonometrie >

3cos(2θ)-5cos(θ)=1

Lösung

3 cos (2 θ) - 5 cos (θ) = 1

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 θ) - 5 cos (θ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 cos (2 θ) - 5 cos (θ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 3 cos (2 θ) - 5 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 5 cos (θ)

Vereinfache

- 1 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 5 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

- 1 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 5 cos (θ)

Multipliziere aus

3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Vereinfache

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1 : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= - 1 + 6 cos^{2} (θ) - 3 - 5 cos (θ)

Vereinfache

- 1 + 6 cos^{2} (θ) - 3 - 5 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

- 1 + 6 cos^{2} (θ) - 3 - 5 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 6 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 1 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= 6 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

= 6 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

= 6 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

- 4 - 5 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 4 - 5 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 4 - 5 u + 6 u^{2} = 0

- 4 - 5 u + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{4}{3}, u = - \frac{1}{2}

- 4 - 5 u + 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 5 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - 5 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 5, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 4 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 4 )}{2 \cdot 6}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 6 (- 4) = 11

(- 5)^{2} - 4 \cdot 6 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 4 = 96

= 5^{2} + 96

5^{2} = 25

= 25 + 96

Addiere die Zahlen:

25 + 96 = 121

= 121

Faktorisiere die Zahl:

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 1^{2} = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 11}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 11}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 11}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 5 ) + 11}{2 \cdot 6} : \frac{4}{3}

\frac{- ( - 5 ) + 11}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 + 11}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

5 + 11 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{16}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{4}{3}

u = \frac{- ( - 5 ) - 11}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 11}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 - 11}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 11 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{4}{3}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{4}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{4}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{4}{3} :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{4}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(2x)=4cos(2x)

sin (2 x) = 4 cos (2 x)

cot(θ/3+(3pi)/4)=sqrt(3)

cot (\frac{θ}{3} + \frac{3 π}{4}) = 3

cos(x)=(tan(x)+cot(x))/(csc(x))

cos (x) = \frac{tan ( x ) + cot ( x )}{csc ( x )}

2cot^2(y)+3csc(y)=0

2 cot^{2} (y) + 3 csc (y) = 0

cot(x)=-0.456

cot (x) = - 0.456