English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometria >

3cos(2θ)=9cos(θ)-6

Solução

3 cos (2 θ) = 9 cos (θ) - 6

Solução

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

3 cos (2 θ) = 9 cos (θ) - 6

Subtrair

9 cos (θ) - 6

de ambos os lados

3 cos (2 θ) - 9 cos (θ) + 6 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

6 + 3 cos (2 θ) - 9 cos (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 6 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 9 cos (θ)

Simplificar

6 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 9 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) + 3

6 + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 9 cos (θ)

Expandir

3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Simplificar

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1 : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multiplicar os números:

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 6 + 6 cos^{2} (θ) - 3 - 9 cos (θ)

Simplificar

6 + 6 cos^{2} (θ) - 3 - 9 cos (θ) : 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) + 3

6 + 6 cos^{2} (θ) - 3 - 9 cos (θ)

Agrupar termos semelhantes

= 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) + 6 - 3

Somar/subtrair:

6 - 3 = 3

= 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) + 3

= 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) + 3

= 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) + 3

3 + 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) = 0

Usando o método de substituição

3 + 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

3 + 6 u^{2} - 9 u = 0

3 + 6 u^{2} - 9 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

3 + 6 u^{2} - 9 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 9 u + 3 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

6 u^{2} - 9 u + 3 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 6, b = - 9, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 3}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 3}{2 \cdot 6}

(- 9)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 3

(- 9)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 3

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 3

Multiplicar os números:

4 \cdot 6 \cdot 3 = 72

= 9^{2} - 72

9^{2} = 81

= 81 - 72

Subtrair:

81 - 72 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 3}{2 \cdot 6}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 6} : 1

\frac{- ( - 9 ) + 3}{2 \cdot 6}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{9 + 3}{2 \cdot 6}

Somar:

9 + 3 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 6}

Multiplicar os números:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{12}{12}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 6} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 9 ) - 3}{2 \cdot 6}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{9 - 3}{2 \cdot 6}

Subtrair:

9 - 3 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 6}

Multiplicar os números:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{12}

Eliminar o fator comum:

6

= \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (θ)

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Soluções gerais para

cos (θ) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

3cosh(x)+5sinh(x)=-3

6cos^2(x)-5cos(x)+1=0

6cos(x)=5

6cos(2x)=6cos^2(x)-5

(-4cos(x)-6sin(x))^2-20sin^2(x)=16