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Popular Trigonometria >

1+tan^2(x)=cot^2(x)

Solução

1 + tan^{2} (x) = cot^{2} (x)

Solução

x = 0.66623 \dots + πn, x = 2.47535 \dots + πn

Graus

x = 38.17270 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

1 + tan^{2} (x) = cot^{2} (x)

Subtrair

cot^{2} (x)

de ambos os lados

1 + tan^{2} (x) - cot^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - cot^{2} (x) + tan^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= 1 - cot^{2} (x) + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= 1 - cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

1 - cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} = 0

Usando o método de substituição

1 - cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} = 0

Sea:

cot (x) = u

1 - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

1 - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0 : u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

1 - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u^{2}

1 - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u^{2}

1 \cdot u^{2} - u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

1 \cdot u^{2} - u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

1 \cdot u^{2} : u^{2}

1 \cdot u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= u^{2}

Simplificar

- u^{2} u^{2} : - u^{4}

- u^{2} u^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= - u^{2 + 2}

Somar:

2 + 2 = 4

= - u^{4}

Simplificar

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

u^{2}

= 1

Simplificar

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} - u^{4} + 1 = 0

u^{2} - u^{4} + 1 = 0

u^{2} - u^{4} + 1 = 0

Resolver

u^{2} - u^{4} + 1 = 0 : u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u^{2} - u^{4} + 1 = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{4} + u^{2} + 1 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

- v^{2} + v + 1 = 0

Resolver

- v^{2} + v + 1 = 0 : v = - \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{1 + 5}{2}

- v^{2} + v + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- v^{2} + v + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 1, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, v_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

v = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = - \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{1 + 5}{2}

v = - \frac{- 1 + 5}{2}, v = \frac{1 + 5}{2}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = - \frac{- 1 + 5}{2} : u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}

u^{2} = - \frac{- 1 + 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = - - \frac{- 1 + 5}{2}

Simplificar

- \frac{- 1 + 5}{2} : i \frac{- 1 + 5}{2}

- \frac{- 1 + 5}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- \frac{5 - 1}{2} = - 1 \frac{5 - 1}{2}

= - 1 \frac{5 - 1}{2}

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= i \frac{5 - 1}{2}

Simplificar

- - \frac{- 1 + 5}{2} : - i \frac{- 1 + 5}{2}

- - \frac{- 1 + 5}{2}

Simplificar

- \frac{- 1 + 5}{2} : i \frac{5 - 1}{2}

- \frac{- 1 + 5}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- \frac{5 - 1}{2} = - 1 \frac{5 - 1}{2}

= - 1 \frac{5 - 1}{2}

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= i \frac{5 - 1}{2}

= - i \frac{5 - 1}{2}

= - i \frac{- 1 + 5}{2}

u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{1 + 5}{2} : u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u^{2} = \frac{1 + 5}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

As soluções são

u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

1 - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}

e comparar com zero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = i \frac{- 1 + 5}{2}, u = - i \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}, u = - \frac{1 + 5}{2}

Substituir na equação

u = cot (x)

cot (x) = i \frac{- 1 + 5}{2}, cot (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2}, cot (x) = \frac{1 + 5}{2}, cot (x) = - \frac{1 + 5}{2}

cot (x) = i \frac{- 1 + 5}{2}, cot (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2}, cot (x) = \frac{1 + 5}{2}, cot (x) = - \frac{1 + 5}{2}

cot (x) = i \frac{- 1 + 5}{2} :

Sem solução

cot (x) = i \frac{- 1 + 5}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cot (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2} :

Sem solução

cot (x) = - i \frac{- 1 + 5}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cot (x) = \frac{1 + 5}{2} : x = arccot \frac{1 + 5}{2} + πn

cot (x) = \frac{1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cot (x) = \frac{1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cot (x) = \frac{1 + 5}{2}

cot (x) = a \Rightarrow x = arccot (a) + πn

x = arccot \frac{1 + 5}{2} + πn

x = arccot \frac{1 + 5}{2} + πn

cot (x) = - \frac{1 + 5}{2} : x = arccot - \frac{1 + 5}{2} + πn

cot (x) = - \frac{1 + 5}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cot (x) = - \frac{1 + 5}{2}

Soluções gerais para

cot (x) = - \frac{1 + 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot - \frac{1 + 5}{2} + πn

x = arccot - \frac{1 + 5}{2} + πn

Combinar toda as soluções

x = arccot \frac{1 + 5}{2} + πn, x = arccot - \frac{1 + 5}{2} + πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.66623 \dots + πn, x = 2.47535 \dots + πn

Gráfico

Exemplos populares

2-2sin^2(x)=-3cos(x)+2

4tan(θ)+7=0

arctan(x)+arctan(3x)+arctan(7x)=180

2cos(a)=1

16sin^2(θ)=12