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受欢迎的三角函数 >

(tan(θ)cot(θ))/(sec^2(θ))=cot(θ)

解答

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} = cot (θ)

解答

θ \in R 无解

求解步骤

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} = cot (θ)

两边减去

cot (θ)

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - cot (θ) = 0

化简

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - cot (θ) : \frac{tan ( θ ) cot ( θ ) - sec ^{2} ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - cot (θ)

将项转换为分式:

cot (θ) = \frac{cot ( θ ) sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - \frac{cot ( θ ) sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( θ ) cot ( θ ) - cot ( θ ) sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) cot ( θ ) - sec ^{2} ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan (θ) cot (θ) - sec^{2} (θ) cot (θ) = 0

分解

tan (θ) cot (θ) - sec^{2} (θ) cot (θ) : cot (θ) (tan (θ) - sec^{2} (θ))

tan (θ) cot (θ) - sec^{2} (θ) cot (θ)

因式分解出通项

cot (θ)

= cot (θ) (tan (θ) - sec^{2} (θ))

cot (θ) (tan (θ) - sec^{2} (θ)) = 0

分别求解每个部分

cot (θ) = 0 or tan (θ) - sec^{2} (θ) = 0

cot (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + πn

cot (θ) = 0

cot (θ) = 0

的通解

cot (x)

周期表（周期为

πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

θ = \frac{π}{2} + πn

θ = \frac{π}{2} + πn

tan (θ) - sec^{2} (θ) = 0 :

无解

tan (θ) - sec^{2} (θ) = 0

使用三角恒等式改写

- sec^{2} (θ) + tan (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= - (tan^{2} (θ) + 1) + tan (θ)

- (tan^{2} (θ) + 1) : - tan^{2} (θ) - 1

- (tan^{2} (θ) + 1)

打开括号

= - (tan^{2} (θ)) - (1)

使用加减运算法则

+ (- a) = - a

= - tan^{2} (θ) - 1

= - tan^{2} (θ) - 1 + tan (θ)

- 1 + tan (θ) - tan^{2} (θ) = 0

用替代法求解

- 1 + tan (θ) - tan^{2} (θ) = 0

令

: tan (θ) = u

- 1 + u - u^{2} = 0

- 1 + u - u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

- 1 + u - u^{2} = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u - 1 = 0

使用求根公式求解

- u^{2} + u - 1 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

化简

1^{2} - 4 (- 1) (- 1) : 3 i

1^{2} - 4 (- 1) (- 1)

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) (- 1)

使用法则

- (- a) = a

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 - 4

数字相减:

1 - 4 = - 3

= - 3

使用根式运算法则:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

使用虚数运算法则:

- 1 = i

= 3 i

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3 i}{2 ( - 1 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 1 + 3 i}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3 i}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 3 i}{2 ( - 1 )} : \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- 1 + 3 i}{2 ( - 1 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3 i}{- 2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 3 i}{- 2}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 3 i}{2}

将

- \frac{- 1 + 3 i}{2}

改写成标准复数形式:

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

- \frac{- 1 + 3 i}{2}

使用分式法则:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{2} = - (- \frac{1}{2}) - (\frac{3 i}{2})

= - (- \frac{1}{2}) - (\frac{3 i}{2})

去除括号:

(a) = a, - (- a) = a

= \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

u = \frac{- 1 - 3 i}{2 ( - 1 )} : \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- 1 - 3 i}{2 ( - 1 )}

去除括号:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3 i}{- 2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 3 i}{- 2}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 - 3 i}{2}

将

- \frac{- 1 - 3 i}{2}

改写成标准复数形式:

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

- \frac{- 1 - 3 i}{2}

使用分式法则:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{2} = - (- \frac{1}{2}) - (- \frac{3 i}{2})

= - (- \frac{1}{2}) - (- \frac{3 i}{2})

使用法则

- (- a) = a

= \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

二次方程组的解是:

u = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

u = tan (θ)

代回

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} :

无解

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

无解

tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} :

无解

tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

无解

合并所有解

无解

合并所有解

θ = \frac{π}{2} + πn

因为方程对以下值无定义:

\frac{π}{2} + πn

θ \in R 无解

作图

流行的例子

sin(y)=(sqrt(3))/2

sin (y) = \frac{3}{2}

9sin^2(x)+3cos(x)-7=0

9 sin^{2} (x) + 3 cos (x) - 7 = 0

3 sec (2 x + 3) = 4

sin(2x)+(sqrt(2))/2 =0

sin (2 x) + \frac{2}{2} = 0

cos(θ)-sin(θ)=sqrt(2)

cos (θ) - sin (θ) = 2