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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(x)-2cos(x)-1=0

Lösung

4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 0.62831 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn, x = 1.88495 \dots + 2 πn, x = - 1.88495 \dots + 2 πn

Grad

x = 3 6^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 32 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 10 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0 : u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Addiere die Zahlen:

4 + 16 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 5}{4}

\frac{- ( - 2 ) + 2 5}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 + 2 5}{8}

Faktorisiere

2 + 25 : 2 (1 + 5)

2 + 25

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 5)

= \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 5}{4}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 5}{4}

\frac{- ( - 2 ) - 2 5}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 - 2 5}{8}

Faktorisiere

2 - 25 : 2 (1 - 5)

2 - 25

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 5)

= \frac{2 ( 1 - 5 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - 5}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 5}{4}, u = \frac{1 - 5}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}, cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}, cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

cos (x) = \frac{1 + 5}{4} : x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 5}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 5}{4} : x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 5}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 5}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.62831 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.62831 \dots + 2 πn, x = 1.88495 \dots + 2 πn, x = - 1.88495 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)-4cos(x)-5=0

cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 5 = 0

sin^2(α)=1+cos^2(α)

sin^{2} (α) = 1 + cos^{2} (α)

21cos((2pi)/(687)t)+228=220

21 cos (\frac{2 π}{687} t) + 228 = 220

cosh(npi)+sinh(npi)=0

cosh (nπ) + sinh (nπ) = 0

sin(pi/6 x)= 1/2

sin (\frac{π}{6} x) = \frac{1}{2}