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Beliebt Trigonometrie >

2tan^2(x)+1=cos(x)

Lösung

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

Lösung

x = 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 tan^{2} (x) + 1)^{2} = cos^{2} (x)

Subtrahiere

cos^{2} (x)

von beiden Seiten

(2 tan^{2} (x) + 1)^{2} - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + 2 tan^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= (1 + 2 (sec^{2} (x) - 1))^{2} - cos^{2} (x)

Multipliziere aus

1 + 2 (sec^{2} (x) - 1) : 2 sec^{2} (x) - 1

1 + 2 (sec^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

2 (sec^{2} (x) - 1) : 2 sec^{2} (x) - 2

2 (sec^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = sec^{2} (x), c = 1

= 2 sec^{2} (x) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sec^{2} (x) - 2

= 1 + 2 sec^{2} (x) - 2

Vereinfache

1 + 2 sec^{2} (x) - 2 : 2 sec^{2} (x) - 1

1 + 2 sec^{2} (x) - 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 sec^{2} (x) + 1 - 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 2 = - 1

= 2 sec^{2} (x) - 1

= 2 sec^{2} (x) - 1

= (2 sec^{2} (x) - 1)^{2} - cos^{2} (x)

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) : (- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x)) (- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x))

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(- 1 + 2 sec^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) + cos (x)) ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) - cos (x))

= ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) + cos (x)) ((- 1 + 2 sec^{2} (x)) - cos (x))

Fasse zusammen

= (2 sec^{2} (x) + cos (x) - 1) (2 sec^{2} (x) - cos (x) - 1)

(- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x)) (- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x) = 0 or - 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x) = 0

- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x) = 0 : x = π + 2 πn

- 1 + 2 sec^{2} (x) + cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (x) + 2 sec^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 + \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x)

- 1 + \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 \cdot u + \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u + \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= - u

Vereinfache

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

Vereinfache

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

Löse

- u + 1 + 2 u^{3} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u + 1 + 2 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u + 1 = 0

Faktorisiere

2 u^{3} - u + 1 : (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

2 u^{3} - u + 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2}

- \frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u + 1

= (u + 1) \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} - 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} : \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{3} - u + 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quotient = 2 u^{2}

Multipliziere

u + 1

mit

2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u^{2}

Substrahiere

2 u^{3} + 2 u^{2}

von

2 u^{3} - u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 2 u^{2} - u + 1

Deshalb

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} : \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 2 u^{2} - u + 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Quotient = - 2 u

Multipliziere

u + 1

mit

- 2 u : - 2 u^{2} - 2 u

Substrahiere

- 2 u^{2} - 2 u

von

- 2 u^{2} - u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = u + 1

Deshalb

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{u + 1}{u + 1} : \frac{u + 1}{u + 1} = 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u + 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{u}{u} = 1

Quotient = 1

Multipliziere

u + 1

mit

1 : u + 1

Substrahiere

u + 1

von

u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{u + 1}{u + 1} = 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

(u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Vereinfache

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 8 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 i}{4}

Faktorisiere

2 + 2 i : 2 (1 + i)

2 + 2 i

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + i)

= \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + i}{2}

Schreibe

\frac{1 + i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{1 + i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 i}{4}

Faktorisiere

2 - 2 i : 2 (1 - i)

2 - 2 i

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - i)

= \frac{2 ( 1 - i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - i}{2}

Schreibe

\frac{1 - i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

\frac{1 - i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 1 + \frac{1}{u} + 2 u^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = - 1, sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = - 1, sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sec (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sec (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn

- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x) = 0 : x = 2 πn

- 1 + 2 sec^{2} (x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos (x) + 2 sec^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 1 - \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x)

- 1 - \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - \frac{1}{sec ( x )} + 2 sec^{2} (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= - u

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

Vereinfache

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Löse

- u - 1 + 2 u^{3} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u - 1 = 0

Faktorisiere

2 u^{3} - u - 1 : (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

2 u^{3} - u - 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2}

\frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u - 1

= (u - 1) \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{3} - u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quotient = 2 u^{2}

Multipliziere

u - 1

mit

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Substrahiere

2 u^{3} - 2 u^{2}

von

2 u^{3} - u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 2 u^{2} - u - 1

Deshalb

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{2} - u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Quotient = 2 u

Multipliziere

u - 1

mit

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Substrahiere

2 u^{2} - 2 u

von

2 u^{2} - u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = u - 1

Deshalb

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividiere

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u - 1

und des Teilers

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quotient = 1

Multipliziere

u - 1

mit

1 : u - 1

Substrahiere

u - 1

von

u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Vereinfache

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 8 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

Faktorisiere

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Schreibe

\frac{- 1 + i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

Faktorisiere

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1 + i}{2}

Schreibe

- \frac{1 + i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = 1, sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = 1, sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sec (x) = 1 : x = 2 πn

sec (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sec (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sec (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn, x = 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

ein, um zu lösen

2 tan^{2} (π + 2 π 1) + 1 = cos (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

1 = - 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

2 tan^{2} (x) + 1 = cos (x)

ein, um zu lösen

2 tan^{2} (2 π 1) + 1 = cos (2 π 1)

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec(x)=-4/3

sec (x) = - \frac{4}{3}

sin(B)= 1/4

sin (B) = \frac{1}{4}

55sin(θ)-20-20cos(θ)=0

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

8sin^2(x)=1

8 sin^{2} (x) = 1

5sin(x)cos(x)=cos(x)

5 sin (x) cos (x) = cos (x)