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Popolare Trigonometria >

sin(3x)=sin^2(x)

Soluzione

sin (3 x) = sin^{2} (x)

Soluzione

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.84806 \dots + 2 πn, x = π - 0.84806 \dots + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 48.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 131.40962 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

sin (3 x) = sin^{2} (x)

Sottrarre

sin^{2} (x)

da entrambi i lati

sin (3 x) - sin^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (3 x) - sin^{2} (x)

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (3 x)

Riscrivi come

= sin (2 x + x)

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Semplifica

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Espandi

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Espandi

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Semplifica

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Espandi

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Semplifica

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Semplifica

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Raggruppa termini simili

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) - sin^{2} (x)

- sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

- u^{2} + 3 u - 4 u^{3} = 0

- u^{2} + 3 u - 4 u^{3} = 0 : u = 0, u = \frac{3}{4}, u = - 1

- u^{2} + 3 u - 4 u^{3} = 0

Fattorizza

- u^{2} + 3 u - 4 u^{3} : - u (4 u - 3) (u + 1)

- u^{2} + 3 u - 4 u^{3}

Fattorizzare dal termine comune

- u : - u (4 u^{2} + u - 3)

- 4 u^{3} - u^{2} + 3 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - 4 u^{2} u - uu + 3 u

Fattorizzare dal termine comune

- u

= - u (4 u^{2} + u - 3)

= - u (4 u^{2} + u - 3)

Fattorizza

4 u^{2} + u - 3 : (4 u - 3) (u + 1)

4 u^{2} + u - 3

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

= 4 u^{2} + u - 3

Suddividere l'espressione in gruppi

4 u^{2} + u - 3

Definizione

Fattori di

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

12 : 2, 2, 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i fattori primi di

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Aggiungi i fattori primi:

2, 3

Aggiungi 1 al numero

12

stesso

1, 12

I fattori di

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Fattori negativi di

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 12,

controllare se

u + v = 1

Verifica

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

Falso

u = 4, v = - 3

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 3 u) + (4 u - 3)

= (4 u^{2} - 3 u) + (4 u - 3)

Fattorizza

u

4 u^{2} - 3 u : u (4 u - 3)

4 u^{2} - 3 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 3 u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (4 u - 3)

= u (4 u - 3) + (4 u - 3)

Fattorizzare dal termine comune

4 u - 3

= (4 u - 3) (u + 1)

= - u (4 u - 3) (u + 1)

- u (4 u - 3) (u + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u = 0 or 4 u - 3 = 0 or u + 1 = 0

Risolvi

4 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{4}

4 u - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

4 u - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

4 u - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

4 u = 3

4 u = 3

Dividere entrambi i lati per

4

4 u = 3

Dividere entrambi i lati per

4

\frac{4 u}{4} = \frac{3}{4}

Semplificare

u = \frac{3}{4}

u = \frac{3}{4}

Risolvi

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Le soluzioni sono

u = 0, u = \frac{3}{4}, u = - 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{3}{4}, sin (x) = - 1

sin (x) = 0, sin (x) = \frac{3}{4}, sin (x) = - 1

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{4} : x = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{4}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{3}{4}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{3}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluzioni generali per

sin (x) = - 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.84806 \dots + 2 πn, x = π - 0.84806 \dots + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

2cot(x)+3=0

cos(x+60)+sin(x)=0

sin(x)*cos(x)= 1/4

sin(θ)=(-sqrt(3))/2 ,0<= θ<= 4pi

4sin(θ)+4=(-3)/(sin(θ)-1)