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Popolare Trigonometria >

tan(6x)-3tan(3x)=0

Soluzione

tan (6 x) - 3 tan (3 x) = 0

Soluzione

x = \frac{πn}{3}, x = \frac{5 π + 6 πn}{18}, x = \frac{π + 6 πn}{18}

Gradi

x = 0^{\circ} + 6 0^{\circ} n, x = 5 0^{\circ} + 6 0^{\circ} n, x = 1 0^{\circ} + 6 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan (6 x) - 3 tan (3 x) = 0

Sia:

u = 3 x

tan (2 u) - 3 tan (u) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

tan (2 u) - 3 tan (u)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - 3 tan (u)

Semplificare

\frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - 3 tan (u) : \frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

\frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - 3 tan (u)

Converti l'elemento in frazione:

3 tan (u) = \frac{3 tan ( u ) ( 1 - tan ^{2} ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

= \frac{2 tan ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} - \frac{3 tan ( u ) ( 1 - tan ^{2} ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( u ) - 3 tan ( u ) ( 1 - tan ^{2} ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

Espandi

2 tan (u) - 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u)) : - tan (u) + 3 tan^{3} (u)

2 tan (u) - 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u))

Espandi

- 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u)) : - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

- 3 tan (u) (1 - tan^{2} (u))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3 tan (u), b = 1, c = tan^{2} (u)

= - 3 tan (u) \cdot 1 - (- 3 tan (u)) tan^{2} (u)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 \cdot tan (u) + 3 tan^{2} (u) tan (u)

Semplifica

- 3 \cdot 1 \cdot tan (u) + 3 tan^{2} (u) tan (u) : - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

- 3 \cdot 1 \cdot tan (u) + 3 tan^{2} (u) tan (u)

3 \cdot 1 \cdot tan (u) = 3 tan (u)

3 \cdot 1 \cdot tan (u)

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= 3 tan (u)

3 tan^{2} (u) tan (u) = 3 tan^{3} (u)

3 tan^{2} (u) tan (u)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (u) tan (u) = tan^{2 + 1} (u)

= 3 tan^{2 + 1} (u)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 3 tan^{3} (u)

= - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

= - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

= 2 tan (u) - 3 tan (u) + 3 tan^{3} (u)

Aggiungi elementi simili:

2 tan (u) - 3 tan (u) = - tan (u)

= - tan (u) + 3 tan^{3} (u)

= \frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

= \frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )}

\frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = 0

Risolvi per sostituzione

\frac{- tan ( u ) + 3 tan ^{3} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = 0

Sia:

tan (u) = u

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- u + 3 u^{3} = 0

Risolvi

- u + 3 u^{3} = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

- u + 3 u^{3} = 0

Fattorizza

- u + 3 u^{3} : u (3 u + 1) (3 u - 1)

- u + 3 u^{3}

Fattorizzare dal termine comune

u : u (3 u^{2} - 1)

3 u^{3} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 3 u^{2} u - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (3 u^{2} - 1)

= u (3 u^{2} - 1)

Fattorizza

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Riscrivi

3 u^{2} - 1

come

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= u (3 u + 1) (3 u - 1)

u (3 u + 1) (3 u - 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u = 0 or 3 u + 1 = 0 or 3 u - 1 = 0

Risolvi

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 u = - 1

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Risolvi

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

3 u = 1

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 u = 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= u

Semplificare

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

Le soluzioni sono

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 1, u = - 1

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{- u + 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - u^{2} = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Semplificare

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

- u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Semplificare

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

I seguenti punti sono non definiti

u = 1, u = - 1

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Sostituire indietro

u = tan (u)

tan (u) = 0, tan (u) = - \frac{3}{3}, tan (u) = \frac{3}{3}

tan (u) = 0, tan (u) = - \frac{3}{3}, tan (u) = \frac{3}{3}

tan (u) = 0 : u = πn

tan (u) = 0

Soluzioni generali per

tan (u) = 0

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = 0 + πn

u = 0 + πn

Risolvi

u = 0 + πn : u = πn

u = 0 + πn

0 + πn = πn

u = πn

u = πn

tan (u) = - \frac{3}{3} : u = \frac{5 π}{6} + πn

tan (u) = - \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

tan (u) = \frac{3}{3} : u = \frac{π}{6} + πn

tan (u) = \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

tan (u) = \frac{3}{3}

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

u = \frac{π}{6} + πn

u = \frac{π}{6} + πn

Combinare tutte le soluzioni

u = πn, u = \frac{5 π}{6} + πn, u = \frac{π}{6} + πn

Sostituire indietro

u = 3 x

3 x = πn : x = \frac{πn}{3}

3 x = πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 x = πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 x}{3} = \frac{πn}{3}

Semplificare

x = \frac{πn}{3}

x = \frac{πn}{3}

3 x = \frac{5 π}{6} + πn : x = \frac{5 π + 6 πn}{18}

3 x = \frac{5 π}{6} + πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 x = \frac{5 π}{6} + πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividi i numeri:

\frac{3}{3} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{5 π + 6 πn}{18}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{\frac{5 π}{6} + πn}{3}

Unisci

\frac{5 π}{6} + πn : \frac{5 π + 6 πn}{6}

\frac{5 π}{6} + πn

Converti l'elemento in frazione:

πn = \frac{πn 6}{6}

= \frac{5 π}{6} + \frac{πn \cdot 6}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 π + πn \cdot 6}{6}

= \frac{\frac{5 π + 6 πn}{6}}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π + πn \cdot 6}{6 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{5 π + 6 πn}{18}

x = \frac{5 π + 6 πn}{18}

x = \frac{5 π + 6 πn}{18}

x = \frac{5 π + 6 πn}{18}

3 x = \frac{π}{6} + πn : x = \frac{π + 6 πn}{18}

3 x = \frac{π}{6} + πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 x = \frac{π}{6} + πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Semplificare

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Dividi i numeri:

\frac{3}{3} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{π + 6 πn}{18}

\frac{\frac{π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{\frac{π}{6} + πn}{3}

Unisci

\frac{π}{6} + πn : \frac{π + 6 πn}{6}

\frac{π}{6} + πn

Converti l'elemento in frazione:

πn = \frac{πn 6}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{πn \cdot 6}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + πn \cdot 6}{6}

= \frac{\frac{π + 6 πn}{6}}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π + πn \cdot 6}{6 \cdot 3}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{π + 6 πn}{18}

x = \frac{π + 6 πn}{18}

x = \frac{π + 6 πn}{18}

x = \frac{π + 6 πn}{18}

x = \frac{πn}{3}, x = \frac{5 π + 6 πn}{18}, x = \frac{π + 6 πn}{18}

Grafico

Esempi popolari

sin(a)= 2/5

cos^2(θ)-cos(θ)-1=0

3cot^2(x)-4csc(x)=1

cos(x)=sin(2x)+cos(3x)

tan(x)sec(x)-2tan(x)=0