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Popolare Trigonometria >

tan(x)=tan(2x)

Soluzione

tan (x) = tan (2 x)

Soluzione

x = πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan (x) = tan (2 x)

Sottrarre

tan (2 x)

da entrambi i lati

tan (x) - tan (2 x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- tan (2 x) + tan (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= - \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} + tan (x)

Semplificare

- \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} + tan (x) : \frac{- tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

- \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} + tan (x)

Converti l'elemento in frazione:

tan (x) = \frac{tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= - \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} + \frac{tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 tan ( x ) + tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Espandi

- 2 tan (x) + tan (x) (1 - tan^{2} (x)) : - tan (x) - tan^{3} (x)

- 2 tan (x) + tan (x) (1 - tan^{2} (x))

Espandi

tan (x) (1 - tan^{2} (x)) : tan (x) - tan^{3} (x)

tan (x) (1 - tan^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = tan (x), b = 1, c = tan^{2} (x)

= tan (x) \cdot 1 - tan (x) tan^{2} (x)

= 1 \cdot tan (x) - tan^{2} (x) tan (x)

Semplifica

1 \cdot tan (x) - tan^{2} (x) tan (x) : tan (x) - tan^{3} (x)

1 \cdot tan (x) - tan^{2} (x) tan (x)

1 \cdot tan (x) = tan (x)

1 \cdot tan (x)

Moltiplicare:

1 \cdot tan (x) = tan (x)

= tan (x)

tan^{2} (x) tan (x) = tan^{3} (x)

tan^{2} (x) tan (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (x) tan (x) = tan^{2 + 1} (x)

= tan^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= tan^{3} (x)

= tan (x) - tan^{3} (x)

= tan (x) - tan^{3} (x)

= - 2 tan (x) + tan (x) - tan^{3} (x)

Aggiungi elementi simili:

- 2 tan (x) + tan (x) = - tan (x)

= - tan (x) - tan^{3} (x)

= \frac{- tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{- tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{- tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 0

Risolvi per sostituzione

\frac{- tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 0

Sia:

tan (x) = u

\frac{- u - u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{- u - u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

\frac{- u - u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- u - u^{3} = 0

Risolvi

- u - u^{3} = 0 : u = 0, u = i, u = - i

- u - u^{3} = 0

Fattorizza

- u - u^{3} : - u (u^{2} + 1)

- u - u^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= - u^{2} u - u

Fattorizzare dal termine comune

- u

= - u (u^{2} + 1)

- u (u^{2} + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u = 0 or u^{2} + 1 = 0

Risolvi

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u^{2} + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Semplifica

- 1 : i

- 1

Applicare la regola del numero immaginario:

- 1 = i

= i

Semplifica

- - 1 : - i

- - 1

Applicare la regola del numero immaginario:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Le soluzioni sono

u = 0, u = i, u = - i

u = 0, u = i, u = - i

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 1, u = - 1

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{- u - u ^{3}}{1 - u ^{2}}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - u^{2} = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Semplificare

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

- u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Semplificare

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

I seguenti punti sono non definiti

u = 1, u = - 1

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 0, u = i, u = - i

Sostituire indietro

u = tan (x)

tan (x) = 0, tan (x) = i, tan (x) = - i

tan (x) = 0, tan (x) = i, tan (x) = - i

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Soluzioni generali per

tan (x) = 0

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Risolvi

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

tan (x) = i :

Nessuna soluzione

tan (x) = i

Nessuna soluzione

tan (x) = - i :

Nessuna soluzione

tan (x) = - i

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = πn

Grafico

Esempi popolari

4tan(x)+2sin(x)cos(x)=0