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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)sin(x)=1

Lösung

cos (2 x) sin (x) = 1

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) sin (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (2 x) sin (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x)

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

Schreibe

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u

um:

- 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u

= - 1 + u (1 - 2 u^{2})

Multipliziere aus

u (1 - 2 u^{2}) : u - 2 u^{3}

u (1 - 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 1, c = 2 u^{2}

= u \cdot 1 - u \cdot 2 u^{2}

= 1 \cdot u - 2 u^{2} u

Vereinfache

1 \cdot u - 2 u^{2} u : u - 2 u^{3}

1 \cdot u - 2 u^{2} u

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= u

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= - 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + u - 2 u^{3} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 2 u^{3} + u - 1 = 0

Faktorisiere

- 2 u^{3} + u - 1 : - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- 2 u^{3} + u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u^{3} - u + 1)

Faktorisiere

2 u^{3} - u + 1 : (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

2 u^{3} - u + 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1, 2

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1 , 2}

- \frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u + 1

= (u + 1) \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} - 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} : \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

2 u^{3} - u + 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Quotient = 2 u^{2}

Multipliziere

u + 1

mit

2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u^{2}

Substrahiere

2 u^{3} + 2 u^{2}

von

2 u^{3} - u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - 2 u^{2} - u + 1

Deshalb

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} : \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- 2 u^{2} - u + 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Quotient = - 2 u

Multipliziere

u + 1

mit

- 2 u : - 2 u^{2} - 2 u

Substrahiere

- 2 u^{2} - 2 u

von

- 2 u^{2} - u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = u + 1

Deshalb

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{u + 1}{u + 1} : \frac{u + 1}{u + 1} = 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u + 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{u}{u} = 1

Quotient = 1

Multipliziere

u + 1

mit

1 : u + 1

Substrahiere

u + 1

von

u + 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{u + 1}{u + 1} = 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

= - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Vereinfache

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 8 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 i}{4}

Faktorisiere

2 + 2 i : 2 (1 + i)

2 + 2 i

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + i)

= \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + i}{2}

Schreibe

\frac{1 + i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{1 + i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 i}{4}

Faktorisiere

2 - 2 i : 2 (1 - i)

2 - 2 i

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 2 i

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - i)

= \frac{2 ( 1 - i )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 - i}{2}

Schreibe

\frac{1 - i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

\frac{1 - i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Die Lösungen sind

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(θ)=10

sin (θ) = 10

17.6^2=15^2+13.1^2-2(15)(13.1)*cos(A)

17. 6^{2} = 1 5^{2} + 13. 1^{2} - 2 (15) (13.1) \cdot cos (A)

sin(θ)=45

sin (θ) = 45

cot(θ)+2csc(θ)=6

cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

(1+cot(x))/(1+tan(x))=5

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} = 5