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Beliebt Trigonometrie >

tan^2(x)-4sec(x)=4

Lösung

tan^{2} (x) - 4 sec (x) = 4

Lösung

x = 1.36943 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.36943 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 78.46304 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 281.53695 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan^{2} (x) - 4 sec (x) = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

tan^{2} (x) - 4 sec (x) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + tan^{2} (x) - 4 sec (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 4 + sec^{2} (x) - 1 - 4 sec (x)

Vereinfache

- 4 + sec^{2} (x) - 1 - 4 sec (x) : sec^{2} (x) - 4 sec (x) - 5

- 4 + sec^{2} (x) - 1 - 4 sec (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= sec^{2} (x) - 4 sec (x) - 4 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 1 = - 5

= sec^{2} (x) - 4 sec (x) - 5

= sec^{2} (x) - 4 sec (x) - 5

- 5 + sec^{2} (x) - 4 sec (x) = 0

Löse mit Substitution

- 5 + sec^{2} (x) - 4 sec (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 5 + u^{2} - 4 u = 0

- 5 + u^{2} - 4 u = 0 : u = 5, u = - 1

- 5 + u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 4 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 5 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 5 )}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 6

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 5 = 20

= 4^{2} + 20

4^{2} = 16

= 16 + 20

Addiere die Zahlen:

16 + 20 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 6}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 1} : 5

\frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 6}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

4 + 6 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{10}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{10}{2} = 5

= 5

u = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 6}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 6 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 5, u = - 1

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = 5, sec (x) = - 1

sec (x) = 5, sec (x) = - 1

sec (x) = 5 : x = arcsec (5) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (5) + 2 πn

sec (x) = 5

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sec (x) = 5

Allgemeine Lösung für

sec (x) = 5

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (5) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (5) + 2 πn

x = arcsec (5) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (5) + 2 πn

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsec (5) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (5) + 2 πn, x = π + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.36943 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.36943 \dots + 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x+10)=-tan(15)

sin (x + 1 0^{\circ}) = - tan (1 5^{\circ})

solvefor x,T(7)=3.15cos(pi/6 x)+19.15

so l v e f or x, T (7) = 3.15 cos (\frac{π}{6} x) + 19.15

cos(x)= 4/14

cos (x) = \frac{4}{14}

(sin(57.22))/(31.5)=(sin(θ))/(24.4)

\frac{sin ( 57.2 2 ^{\circ} )}{31.5} = \frac{sin ( θ )}{24.4}

7.5sin(x)=3.4cos(x)

7.5 sin (x) = 3.4 cos (x)