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受欢迎的三角函数 >

3sin(2θ)=5cos(θ)

解答

3 sin (2 θ) = 5 cos (θ)

解答

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.98511 \dots + 2 πn, θ = π - 0.98511 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 56.44269 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 123.55730 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

3 sin (2 θ) = 5 cos (θ)

两边减去

5 cos (θ)

3 sin (2 θ) - 5 cos (θ) = 0

使用三角恒等式改写

3 sin (2 θ) - 5 cos (θ)

使用倍角公式:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 3 \cdot 2 sin (θ) cos (θ) - 5 cos (θ)

化简

= 6 sin (θ) cos (θ) - 5 cos (θ)

- 5 cos (θ) + 6 cos (θ) sin (θ) = 0

分解

- 5 cos (θ) + 6 cos (θ) sin (θ) : cos (θ) (6 sin (θ) - 5)

- 5 cos (θ) + 6 cos (θ) sin (θ)

因式分解出通项

cos (θ)

= cos (θ) (- 5 + 6 sin (θ))

cos (θ) (6 sin (θ) - 5) = 0

分别求解每个部分

cos (θ) = 0 or 6 sin (θ) - 5 = 0

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

的通解

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

6 sin (θ) - 5 = 0 : θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

6 sin (θ) - 5 = 0

将

5

到右边

6 sin (θ) - 5 = 0

两边加上

5

6 sin (θ) - 5 + 5 = 0 + 5

化简

6 sin (θ) = 5

6 sin (θ) = 5

两边除以

6

6 sin (θ) = 5

两边除以

6

\frac{6 sin ( θ )}{6} = \frac{5}{6}

化简

sin (θ) = \frac{5}{6}

sin (θ) = \frac{5}{6}

使用反三角函数性质

sin (θ) = \frac{5}{6}

sin (θ) = \frac{5}{6}

的通解

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

合并所有解

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{6}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.98511 \dots + 2 πn, θ = π - 0.98511 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

6=6sin(2pi(47)t),0<t<0.0212

0.25*cos(x)=-0.249

cos(x)sin(x)cos(x)=1-sin^2(x)

sin(θ)=sqrt(1-(1-(cos(θ)-1)^2))