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Beliebt Trigonometrie >

3cos(x)-4sin(x)=5

Lösung

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

Lösung

x = - 0.92729 \dots + 2 πn

Grad

x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

Füge

4 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

3 cos (x) = 5 + 4 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(3 cos (x))^{2} = (5 + 4 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(5 + 4 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

9 cos^{2} (x) - 25 - 40 sin (x) - 16 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) : - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) : - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

- 25 - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 25 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 16 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 25 sin^{2} (x)

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 25 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 25 + 9 = - 16

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

= - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) - 16

- 16 - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

- 16 - 25 sin^{2} (x) - 40 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 16 - 25 u^{2} - 40 u = 0

- 16 - 25 u^{2} - 40 u = 0 : u = - \frac{4}{5}

- 16 - 25 u^{2} - 40 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} - 40 u - 16 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 25 u^{2} - 40 u - 16 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 25, b = - 40, c = - 16

u_{1, 2} = \frac{- ( - 40 ) \pm ( - 40 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 40 ) \pm ( - 40 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 16 )}{2 ( - 25 )}

(- 40)^{2} - 4 (- 25) (- 16) = 0

(- 40)^{2} - 4 (- 25) (- 16)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 40)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 40)^{2} = 4 0^{2}

= 4 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 16

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 25 \cdot 16 = 1600

= 4 0^{2} - 1600

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 1600

Subtrahiere die Zahlen:

1600 - 1600 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 40 ) \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- ( - 40 )}{2 ( - 25 )}

\frac{- ( - 40 )}{2 ( - 25 )} = - \frac{4}{5}

\frac{- ( - 40 )}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{40}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{40}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{40}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= - \frac{4}{5}

u = - \frac{4}{5}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = - \frac{4}{5}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

3 cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) - 4 sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

5 = 5

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (x) - 4 sin (x) = 5

ein, um zu lösen

3 cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) - 4 sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 5

Fasse zusammen

1.4 = 5

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.92729 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(2)cos(x-pi/4)-1=0

2 cos (x - \frac{π}{4}) - 1 = 0

0=3cos(x)

0 = 3 cos (x)

tan(pi/2-x)+tan(x)-1=0

tan (\frac{π}{2} - x) + tan (x) - 1 = 0

cos(1000t)=1

cos (1000 t) = 1

3sin(θ/4)-3/2 =0,0<= θ<= 2pi

3 sin (\frac{θ}{4}) - \frac{3}{2} = 0, 0 \leq θ \leq 2 π