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Popolare Trigonometria >

cos(pi/2-x)tan(x)-sec(-x)=1

Soluzione

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

Soluzione

x = π + 2 πn

Gradi

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (\frac{π}{2} - x)

Usa la formula della differenza degli angoli:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x)

Semplifica

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x) : sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (x)

Semplifica

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (x) = sin (x)

sin (\frac{π}{2}) sin (x)

Semplifica

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot sin (x)

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= 0 + sin (x)

0 + sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

- sec (x) + sin (x) tan (x) = 1

- sec (x) + sin (x) tan (x) = 1

Sottrarre

1

da entrambi i lati

- sec (x) + sin (x) tan (x) - 1 = 0

Esprimere con sen e cos

- \frac{1}{cos ( x )} + sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Semplifica

- \frac{1}{cos ( x )} + sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 : \frac{- 1 + sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )}

- \frac{1}{cos ( x )} + sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1

sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

sin (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - 1

Combinare le frazioni

- \frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} : \frac{- 1 + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) - 1}{cos ( x )} - 1

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + sin ^{2} ( x )}{cos ( x )} - \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + sin ^{2} ( x ) - 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{- 1 + sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{- 1 + sin ^{2} ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 + sin^{2} (x) - cos (x) = 0

Aggiungi

cos (x)

ad entrambi i lati

- 1 + sin^{2} (x) = cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} = cos^{2} (x)

Sottrarre

cos^{2} (x)

da entrambi i lati

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = 0

Fattorizza

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) : (- 1 + sin^{2} (x) + cos (x)) (- 1 + sin^{2} (x) - cos (x))

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} - cos^{2} (x) = ((- 1 + sin^{2} (x)) + cos (x)) ((- 1 + sin^{2} (x)) - cos (x))

= ((- 1 + sin^{2} (x)) + cos (x)) ((- 1 + sin^{2} (x)) - cos (x))

Affinare

= (sin^{2} (x) + cos (x) - 1) (sin^{2} (x) - cos (x) - 1)

(- 1 + sin^{2} (x) + cos (x)) (- 1 + sin^{2} (x) - cos (x)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

- 1 + sin^{2} (x) + cos (x) = 0 or - 1 + sin^{2} (x) - cos (x) = 0

- 1 + sin^{2} (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

- 1 + sin^{2} (x) + cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 + cos (x) + sin^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos (x) - cos^{2} (x)

cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u = 0

Risolvi con la formula quadratica

- u^{2} + u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Aggiungi i numeri:

1 + 0 = 1

= 1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Sottrai i numeri:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 0, u = 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = 1

cos (x) = 0, cos (x) = 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluzioni generali per

cos (x) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

- 1 + sin^{2} (x) - cos (x) = 0 : x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 + sin^{2} (x) - cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - cos (x) + sin^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos (x) - cos^{2} (x)

- cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- u - u^{2} = 0

- u - u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- u - u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u = 0

Risolvi con la formula quadratica

- u^{2} - u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 1, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 + 0

Aggiungi i numeri:

1 + 0 = 1

= 1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Sottrai i numeri:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 1, u = 0

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = - 1, cos (x) = 0

cos (x) = - 1, cos (x) = 0

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluzioni generali per

cos (x) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Per

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

inserisci la

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

cos (\frac{π}{2} - (\frac{π}{2} + 2 π 1)) tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) - sec (- (\frac{π}{2} + 2 π 1)) = 1

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Per

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

inserisci la

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

cos (\frac{π}{2} - (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)) tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) - sec (- (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)) = 1

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

2 πn :

Falso

2 πn

Inserire in

n = 1

2 π 1

Per

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

inserisci la

x = 2 π 1

cos (\frac{π}{2} - 2 π 1) tan (2 π 1) - sec (- 2 π 1) = 1

Affinare

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

π + 2 πn :

Vero

π + 2 πn

Inserire in

n = 1

π + 2 π 1

Per

cos (\frac{π}{2} - x) tan (x) - sec (- x) = 1

inserisci la

x = π + 2 π 1

cos (\frac{π}{2} - (π + 2 π 1)) tan (π + 2 π 1) - sec (- (π + 2 π 1)) = 1

Affinare

1 = 1

\Rightarrow Vero

x = π + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

(cot(θ)+csc(θ))/(sec(θ)+1)=sin(θ)

\frac{cot ( θ ) + csc ( θ )}{sec ( θ ) + 1} = sin (θ)

1/(cos(2x))+tan(2x)=3cos(2x),0<x<90

\frac{1}{cos ( 2 x )} + tan (2 x) = 3 cos (2 x), 0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}

sin(x)= 4/5 ,0<= x<2pi

sin (x) = \frac{4}{5}, 0 \leq x < 2 π

7sin^2(θ)-5sin(θ)=2

7 sin^{2} (θ) - 5 sin (θ) = 2

sec(2x)=-(2/(sqrt(3)))

sec (2 x) = - (\frac{2}{3})