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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-sin(x)-1=0

Lösung

cos (2 x) - sin (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - sin (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 x) - sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) - sin (x)

Vereinfache

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x)

- sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- u - 2 u^{2} = 0

- u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 0

- u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 0

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)= 5/20

cos (x) = \frac{5}{20}

sin(x)-sqrt(3)cos(x)=1,0<= x<= 2pi

sin (x) - 3 cos (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

arccos(θ)= 5/7

arccos (θ) = \frac{5}{7}

cos(θ)=(-139)/(160)

cos (θ) = \frac{- 139}{160}

sin(4x)=(sqrt(2))/2

sin (4 x) = \frac{2}{2}