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Popular Trigonometria >

2cos(x)=tan(x)+sec(x)

Solução

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

Solução

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graus

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

Subtrair

tan (x) + sec (x)

de ambos os lados

2 cos (x) - tan (x) - sec (x) = 0

Expresar com seno, cosseno

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Simplificar

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

2 cos (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

= 2 cos (x) + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Converter para fração:

2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{- sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) cos ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

2 cos (x) cos (x) - sin (x) - 1 = 2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1

2 cos (x) cos (x) - sin (x) - 1

2 cos (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x)

2 cos (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 cos^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )}

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - sin ( x ) - 1}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1 = 0

Adicionar

sin (x)

a ambos os lados

2 cos^{2} (x) - 1 = sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} = sin^{2} (x)

Subtrair

sin^{2} (x)

de ambos os lados

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = 0

Fatorar

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) : (2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x))

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 cos^{2} (x) - 1)^{2} - sin^{2} (x) = ((2 cos^{2} (x) - 1) + sin (x)) ((2 cos^{2} (x) - 1) - sin (x))

= ((2 cos^{2} (x) - 1) + sin (x)) ((2 cos^{2} (x) - 1) - sin (x))

Simplificar

= (2 cos^{2} (x) + sin (x) - 1) (2 cos^{2} (x) - sin (x) - 1)

(2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x)) (2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0 or 2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0

2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 cos^{2} (x) - 1 + sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + sin (x) + 2 cos^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 + sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

- 1 + sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

- 1 + sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 - 2 sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 + sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) : sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

- 1 + sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1 + 2

Somar/subtrair:

- 1 + 2 = 1

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

= sin (x) - 2 sin^{2} (x) + 1

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 + sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

1 + u - 2 u^{2} = 0

1 + u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

1 + u - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 cos^{2} (x) - 1 - sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 - sin (x) + 2 cos^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

- 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

- 1 - sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 - 2 sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Simplificar

- 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x) : - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

- 1 - sin (x) + 2 - 2 sin^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - sin (x) - 2 sin^{2} (x) - 1 + 2

Somar/subtrair:

- 1 + 2 = 1

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

= - 2 sin^{2} (x) - sin (x) + 1

1 - sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 - sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

1 - u - 2 u^{2} = 0

1 - u - 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

1 - u - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Somar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Para

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserir

x = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{7 π}{6} + 2 π 1)

Simplificar

- 1.73205 \dots = - 0.57735 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Para

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserir

x = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{11 π}{6} + 2 π 1)

Simplificar

1.73205 \dots = 0.57735 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Para

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserir

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) + sec (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

0 = \infty

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Para

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserir

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Indefinido

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{π}{6} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{π}{6} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{6} + 2 π 1

Para

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserir

x = \frac{π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{π}{6} + 2 π 1)

Simplificar

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{5 π}{6} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{5 π}{6} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{5 π}{6} + 2 π 1

Para

2 cos (x) = tan (x) + sec (x)

inserir

x = \frac{5 π}{6} + 2 π 1

2 cos (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) = tan (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) + sec (\frac{5 π}{6} + 2 π 1)

Simplificar

- 1.73205 \dots = - 1.73205 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin^2(x)cos(x)= 2/(3pi)

tan(φ)=-1/(sqrt(6))

sin(θ)= 4/5 cos(θ)

19= 1/2*7.9*6.2sin(x)

2tan(60-x)=tan(x)