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Beliebt Trigonometrie >

2(sin(x))2-5cos(x)-4=0

Lösung

2 (sin (x)) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + 0.22131 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 192.68038 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 (sin (x)) \cdot 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

Füge

5 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

4 sin (x) - 4 = 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(4 sin (x) - 4)^{2} = (5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(4 sin (x) - 4)^{2} - 25 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

(- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x)) : 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

(- 4 + 4 sin (x))^{2} - 25 (1 - sin^{2} (x))

(- 4 + 4 sin (x))^{2} : 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 4, b = 4 sin (x)

= (- 4)^{2} + 2 (- 4) \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2}

Vereinfache

(- 4)^{2} + 2 (- 4) \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2} : 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

(- 4)^{2} + 2 (- 4) \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= (- 4)^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 sin (x) + (4 sin (x))^{2}

(- 4)^{2} = 16

(- 4)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2}

4^{2} = 16

= 16

2 \cdot 4 \cdot 4 sin (x) = 32 sin (x)

2 \cdot 4 \cdot 4 sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 \cdot 4 = 32

= 32 sin (x)

(4 sin (x))^{2} = 16 sin^{2} (x)

(4 sin (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} sin^{2} (x)

4^{2} = 16

= 16 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 25 (1 - sin^{2} (x)) : - 25 + 25 sin^{2} (x)

- 25 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 25 \cdot 1 - (- 25) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 25 \cdot 1 + 25 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= - 25 + 25 sin^{2} (x)

= 16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Vereinfache

16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x) : 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

16 - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) - 25 + 25 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 32 sin (x) + 16 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) + 16 - 25

Addiere gleiche Elemente:

16 sin^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) = 41 sin^{2} (x)

= - 32 sin (x) + 41 sin^{2} (x) + 16 - 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

16 - 25 = - 9

= 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

= 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

= 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 9

- 9 - 32 sin (x) + 41 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 9 - 32 sin (x) + 41 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 9 - 32 u + 41 u^{2} = 0

- 9 - 32 u + 41 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{9}{41}

- 9 - 32 u + 41 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

41 u^{2} - 32 u - 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

41 u^{2} - 32 u - 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 41, b = - 32, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 \cdot 41 ( - 9 )}{2 \cdot 41}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 \cdot 41 ( - 9 )}{2 \cdot 41}

(- 32)^{2} - 4 \cdot 41 (- 9) = 50

(- 32)^{2} - 4 \cdot 41 (- 9)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 32)^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 32)^{2} = 3 2^{2}

= 3 2^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 41 \cdot 9 = 1476

= 3 2^{2} + 1476

3 2^{2} = 1024

= 1024 + 1476

Addiere die Zahlen:

1024 + 1476 = 2500

= 2500

Faktorisiere die Zahl:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm 50}{2 \cdot 41}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 \cdot 41}, u_{2} = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 \cdot 41}

u = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 \cdot 41} : 1

\frac{- ( - 32 ) + 50}{2 \cdot 41}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{32 + 50}{2 \cdot 41}

Addiere die Zahlen:

32 + 50 = 82

= \frac{82}{2 \cdot 41}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{82}{82}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 \cdot 41} : - \frac{9}{41}

\frac{- ( - 32 ) - 50}{2 \cdot 41}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{32 - 50}{2 \cdot 41}

Subtrahiere die Zahlen:

32 - 50 = - 18

= \frac{- 18}{2 \cdot 41}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 18}{82}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{18}{82}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{9}{41}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{9}{41}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{9}{41}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{9}{41}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{9}{41} : x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{9}{41}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{9}{41}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{9}{41}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

ein, um zu lösen

2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) \cdot 2 - 5 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) - 4 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

ein, um zu lösen

2 sin (arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1) \cdot 2 - 5 cos (arcsin (- \frac{9}{41}) + 2 π 1) - 4 = 0

Fasse zusammen

- 9.75609 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

2 sin (x) 2 - 5 cos (x) - 4 = 0

ein, um zu lösen

2 sin (π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) \cdot 2 - 5 cos (π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) - 4 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + 0.22131 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x/2+20)=sin(x)

cos (\frac{x}{2} + 2 0^{\circ}) = sin (x)

0=cos^2(x)+sin^2(x)-2sin(x),0<= x<= 2pi

0 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 2 sin (x), 0 \leq x \leq 2 π

sin(θ)=-7/25 ,sin(2θ)

sin (θ) = - \frac{7}{25}, sin (2 θ)

cos(θ)= 9/12

cos (θ) = \frac{9}{12}

csc(x)+cot(x)=-1,0<= x<= 2pi

csc (x) + cot (x) = - 1, 0 \leq x \leq 2 π