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Popular Trigonometria >

2sin(x/2)=1-cos(x)

Solução

2 sin (\frac{x}{2}) = 1 - cos (x)

Solução

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = π + 4 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Passos da solução

2 sin (\frac{x}{2}) = 1 - cos (x)

Subtrair

1 - cos (x)

de ambos os lados

2 sin (\frac{x}{2}) - 1 + cos (x) = 0

Sea:

u = \frac{x}{2}

2 sin (u) - 1 + cos (2 u) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 u) + 2 sin (u)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (u) + 2 sin (u)

Simplificar

= 2 sin (u) - 2 sin^{2} (u)

2 sin (u) - 2 sin^{2} (u) = 0

Usando o método de substituição

2 sin (u) - 2 sin^{2} (u) = 0

Sea:

sin (u) = u

2 u - 2 u^{2} = 0

2 u - 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

2 u - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} + 2 u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 2

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n a^{n} = a,

assumindo que

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 2 + 2}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2}{- 2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 2 + 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 2 - 2}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

- 2 - 2 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 0, u = 1

Substituir na equação

u = sin (u)

sin (u) = 0, sin (u) = 1

sin (u) = 0, sin (u) = 1

sin (u) = 0 : u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = 0

Soluções gerais para

sin (u) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

Resolver

u = 0 + 2 πn : u = 2 πn

u = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

u = 2 πn

u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = 1 : u = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (u) = 1

Soluções gerais para

sin (u) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = \frac{π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{π}{2} + 2 πn

Substituir na equação

u = \frac{x}{2}

\frac{x}{2} = 2 πn : x = 4 πn

\frac{x}{2} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplificar

x = 4 πn

x = 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn : x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

x = 2 π + 4 πn

x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn, x = π + 4 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(x)=(-sin(2x))/2

sin (x) = \frac{- sin ( 2 x )}{2}

12sin(A)+4=4sin(A)+4

12 sin (A) + 4 = 4 sin (A) + 4

2sin^2(x)=3-3cos(x)

2 sin^{2} (x) = 3 - 3 cos (x)

cos(x)+sin(x)tan(x)=1

cos (x) + sin (x) tan (x) = 1

sin(x)-(sqrt(2))/2 =0

sin (x) - \frac{2}{2} = 0