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Beliebt Trigonometrie >

sec(a)=1+tan(a)

Lösung

sec (a) = 1 + tan (a)

Lösung

a = 2 πn

Grad

a = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec (a) = 1 + tan (a)

Subtrahiere

1 + tan (a)

von beiden Seiten

sec (a) - 1 - tan (a) = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{cos ( a )} - 1 - \frac{sin ( a )}{cos ( a )} = 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( a )} - 1 - \frac{sin ( a )}{cos ( a )} : \frac{1 - sin ( a ) - cos ( a )}{cos ( a )}

\frac{1}{cos ( a )} - 1 - \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{cos ( a )} - \frac{sin ( a )}{cos ( a )} : \frac{1 - sin ( a )}{cos ( a )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( a )}{cos ( a )}

= \frac{- sin ( a ) + 1}{cos ( a )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( a )}{cos ( a )}

= \frac{1 - sin ( a )}{cos ( a )} - \frac{1 \cdot cos ( a )}{cos ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( a ) - 1 \cdot cos ( a )}{cos ( a )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (a) = cos (a)

= \frac{1 - sin ( a ) - cos ( a )}{cos ( a )}

\frac{1 - sin ( a ) - cos ( a )}{cos ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin (a) - cos (a) = 0

Füge

cos (a)

zu beiden Seiten hinzu

1 - sin (a) = cos (a)

Quadriere beide Seiten

(1 - sin (a))^{2} = cos^{2} (a)

Subtrahiere

cos^{2} (a)

von beiden Seiten

(1 - sin (a))^{2} - cos^{2} (a) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - sin (a))^{2} - cos^{2} (a)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (a))^{2} - (1 - sin^{2} (a))

Vereinfache

(1 - sin (a))^{2} - (1 - sin^{2} (a)) : 2 sin^{2} (a) - 2 sin (a)

(1 - sin (a))^{2} - (1 - sin^{2} (a))

(1 - sin (a))^{2} : 1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (a)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (a) + sin^{2} (a)

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (a) + sin^{2} (a) : 1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (a) + sin^{2} (a)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (a) + sin^{2} (a)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a)

= 1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a)

= 1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a) - (1 - sin^{2} (a))

- (1 - sin^{2} (a)) : - 1 + sin^{2} (a)

- (1 - sin^{2} (a))

Setze Klammern

= - (1) - (- sin^{2} (a))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (a)

= 1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a) - 1 + sin^{2} (a)

Vereinfache

1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a) - 1 + sin^{2} (a) : 2 sin^{2} (a) - 2 sin (a)

1 - 2 sin (a) + sin^{2} (a) - 1 + sin^{2} (a)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (a) + sin^{2} (a) + sin^{2} (a) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (a) + sin^{2} (a) = 2 sin^{2} (a)

= - 2 sin (a) + 2 sin^{2} (a) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (a) - 2 sin (a)

= 2 sin^{2} (a) - 2 sin (a)

= 2 sin^{2} (a) - 2 sin (a)

- 2 sin (a) + 2 sin^{2} (a) = 0

Löse mit Substitution

- 2 sin (a) + 2 sin^{2} (a) = 0

Angenommen:

sin (a) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = 0

Setze in

u = sin (a)

ein

sin (a) = 1, sin (a) = 0

sin (a) = 1, sin (a) = 0

sin (a) = 1 : a = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (a) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (a) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

a = \frac{π}{2} + 2 πn

a = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (a) = 0 : a = 2 πn, a = π + 2 πn

sin (a) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (a) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

a = 0 + 2 πn, a = π + 2 πn

a = 0 + 2 πn, a = π + 2 πn

Löse

a = 0 + 2 πn : a = 2 πn

a = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

a = 2 πn

a = 2 πn, a = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = 2 πn, a = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sec (a) = 1 + tan (a)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

a = \frac{π}{2} + 2 π 1

sec (a) = 1 + tan (a)

ein, um zu lösen

sec (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1 + tan (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

\infty = \infty

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

a = 2 π 1

sec (a) = 1 + tan (a)

ein, um zu lösen

sec (2 π 1) = 1 + tan (2 π 1)

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

a = π + 2 π 1

sec (a) = 1 + tan (a)

ein, um zu lösen

sec (π + 2 π 1) = 1 + tan (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{π}{2} + 2 πn

a = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

arctan(θ)= 2/(2sqrt(3))

arctan (θ) = \frac{2}{2 3}

3sin(x)=+sin(x)

3 sin (x) = + sin (x)

solvefor x,(D^2-3D+2)y=sec^2(e^{-x})

so l v e f or x, (D^{2} - 3 D + 2) y = sec^{2} (e^{- x})

sin(θ)=(7sin(140))/(16.12288984)

sin (θ) = \frac{7 sin ( 14 0 ^{\circ} )}{16.12288984}

-5cos^2(x)=0

- 5 cos^{2} (x) = 0