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Populaire Trigonométrie >

2sin^2(x)=cos^3(x)tan(x)

Solution

2 sin^{2} (x) = cos^{3} (x) tan (x)

Solution

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.42707 \dots + 2 πn, x = π - 0.42707 \dots + 2 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 155.53019 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 sin^{2} (x) = cos^{3} (x) tan (x)

Soustraire

cos^{3} (x) tan (x)

des deux côtés

2 sin^{2} (x) - cos^{3} (x) tan (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 sin^{2} (x) - cos^{3} (x) tan (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 2 sin^{2} (x) - cos^{3} (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

cos^{3} (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = cos^{2} (x) sin (x)

cos^{3} (x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ^{3} ( x )}{cos ( x )}

Annuler le facteur commun :

cos (x)

= cos^{2} (x) sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin (x)

2 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin (x) = 0

Factoriser

2 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin (x) : sin (x) (2 sin (x) - cos^{2} (x))

2 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= 2 sin (x) sin (x) - sin (x) cos^{2} (x)

Factoriser le terme commun

sin (x)

= sin (x) (2 sin (x) - cos^{2} (x))

sin (x) (2 sin (x) - cos^{2} (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) = 0 or 2 sin (x) - cos^{2} (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Solutions générales pour

sin (x) = 0

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

2 sin (x) - cos^{2} (x) = 0 : x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

2 sin (x) - cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos^{2} (x) + 2 sin (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - (1 - sin^{2} (x)) + 2 sin (x)

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= - 1 + sin^{2} (x) + 2 sin (x)

- 1 + sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Résoudre par substitution

- 1 + sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Soit :

sin (x) = u

- 1 + u^{2} + 2 u = 0

- 1 + u^{2} + 2 u = 0 : u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

- 1 + u^{2} + 2 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 2 u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} + 2 u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Additionner les nombres :

4 + 4 = 8

= 8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 + 2

\frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 2}{2}

Factoriser

- 2 + 22 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 22

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 + 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 2

u = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 - 2

\frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 2}{2}

Factoriser

- 2 - 22 : - 2 (1 + 2)

- 2 - 22

Récrire comme

= - 2 \cdot 1 - 22

Factoriser le terme commun

2

= - 2 (1 + 2)

= - \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 2)

Inverser

- (1 + 2) = - 1 - 2

= - 1 - 2

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = - 1 + 2, sin (x) = - 1 - 2

sin (x) = - 1 + 2, sin (x) = - 1 - 2

sin (x) = - 1 + 2 : x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

sin (x) = - 1 + 2

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (x) = - 1 + 2

Solutions générales pour

sin (x) = - 1 + 2

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

sin (x) = - 1 - 2 :

Aucune solution

sin (x) = - 1 - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = arcsin (- 1 + 2) + 2 πn, x = π - arcsin (- 1 + 2) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = 0.42707 \dots + 2 πn, x = π - 0.42707 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

tan(x-10)cot(20-x)=1

tan (x - 1 0^{\circ}) cot (2 0^{\circ} - x) = 1

3csc(2x)-4sin(2x)=0

3 csc (2 x) - 4 sin (2 x) = 0

3tan(B)-4=tan(B)-2

3 tan (B) - 4 = tan (B) - 2

sin(2x)=5cos(2x)

sin (2 x) = 5 cos (2 x)

5sec(2x)+2=0

5 sec (2 x) + 2 = 0