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Populaire Trigonométrie >

4sin(θ)+3csc(θ)=7

Solution

4 sin (θ) + 3 csc (θ) = 7

Solution

θ = 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Degrés

θ = 48.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 131.40962 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 sin (θ) + 3 csc (θ) = 7

Soustraire

7

des deux côtés

4 sin (θ) + 3 csc (θ) - 7 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 7 + 3 csc (θ) + 4 sin (θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - 7 + 3 csc (θ) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( θ )} = \frac{4}{csc ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( θ )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( θ )}

= - 7 + 3 csc (θ) + \frac{4}{csc ( θ )}

- 7 + \frac{4}{csc ( θ )} + 3 csc (θ) = 0

Résoudre par substitution

- 7 + \frac{4}{csc ( θ )} + 3 csc (θ) = 0

Soit :

csc (θ) = u

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0 : u = \frac{4}{3}, u = 1

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- 7 u + \frac{4}{u} u + 3 uu = 0 \cdot u

Simplifier

- 7 u + \frac{4}{u} u + 3 uu = 0 \cdot u

Simplifier

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 4

Simplifier

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

Résoudre

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0 : u = \frac{4}{3}, u = 1

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 7 u + 4 = 0

Résoudre par la formule quadratique

3 u^{2} - 7 u + 4 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 3, b = - 7, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

Multiplier les nombres :

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Soustraire les nombres :

49 - 48 = 1

= 1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 1}{2 \cdot 3}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3} : \frac{4}{3}

\frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{7 + 1}{2 \cdot 3}

Additionner les nombres :

7 + 1 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{8}{6}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{4}{3}

u = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3} : 1

\frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{7 - 1}{2 \cdot 3}

Soustraire les nombres :

7 - 1 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 3}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{6}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{4}{3}, u = 1

u = \frac{4}{3}, u = 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = \frac{4}{3}, u = 1

Remplacer

u = csc (θ)

csc (θ) = \frac{4}{3}, csc (θ) = 1

csc (θ) = \frac{4}{3}, csc (θ) = 1

csc (θ) = \frac{4}{3} : θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

csc (θ) = \frac{4}{3}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

csc (θ) = \frac{4}{3}

Solutions générales pour

csc (θ) = \frac{4}{3}

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

csc (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

csc (θ) = 1

Solutions générales pour

csc (θ) = 1

Tableau de périodicité

csc (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

-4sin(x)=-cos^2(x)+1,0<= x<= 2pi

7cos(6x)=2

sin^2(θ)+cos(θ)(1-cos(θ))=0

tan(A)= 94/67

2tan(2x)-10=34641