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Popular Trigonometría >

4sin(x)+1=3csc(x)

Solución

4 sin (x) + 1 = 3 csc (x)

Solución

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.84806 \dots + 2 πn, x = π - 0.84806 \dots + 2 πn

Grados

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 48.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 131.40962 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin (x) + 1 = 3 csc (x)

Restar

3 csc (x)

de ambos lados

4 sin (x) + 1 - 3 csc (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - 3 csc (x) + 4 sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= 1 - 3 csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= 1 - 3 csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

1 + \frac{4}{csc ( x )} - 3 csc (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 + \frac{4}{csc ( x )} - 3 csc (x) = 0

Sea:

csc (x) = u

1 + \frac{4}{u} - 3 u = 0

1 + \frac{4}{u} - 3 u = 0 : u = - 1, u = \frac{4}{3}

1 + \frac{4}{u} - 3 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

1 + \frac{4}{u} - 3 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

1 \cdot u + \frac{4}{u} u - 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

1 \cdot u + \frac{4}{u} u - 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

1 \cdot u : u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 4

Simplificar

- 3 uu : - 3 u^{2}

- 3 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 3 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= - 3 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

u + 4 - 3 u^{2} = 0

u + 4 - 3 u^{2} = 0

u + 4 - 3 u^{2} = 0

Resolver

u + 4 - 3 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{4}{3}

u + 4 - 3 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + u + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3 u^{2} + u + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3, b = 1, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 4}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 4}{2 ( - 3 )}

1^{2} - 4 (- 3) \cdot 4 = 7

1^{2} - 4 (- 3) \cdot 4

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 3) \cdot 4

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 3 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 1 + 48

Sumar:

1 + 48 = 49

= 49

Descomponer el número en factores primos:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 7}{2 ( - 3 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 7}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 7}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 1 + 7}{2 ( - 3 )} : - 1

\frac{- 1 + 7}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 7}{- 2 \cdot 3}

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 7 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- 1 - 7}{2 ( - 3 )} : \frac{4}{3}

\frac{- 1 - 7}{2 ( - 3 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 7}{- 2 \cdot 3}

Restar:

- 1 - 7 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 8}{- 6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{4}{3}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1, u = \frac{4}{3}

u = - 1, u = \frac{4}{3}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

1 + \frac{4}{u} - 3 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - 1, u = \frac{4}{3}

Sustituir en la ecuación

u = csc (x)

csc (x) = - 1, csc (x) = \frac{4}{3}

csc (x) = - 1, csc (x) = \frac{4}{3}

csc (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = - 1

Soluciones generales para

csc (x) = - 1

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

csc (x) = \frac{4}{3} : x = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

csc (x) = \frac{4}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (x) = \frac{4}{3}

Soluciones generales para

csc (x) = \frac{4}{3}

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

x = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, x = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.84806 \dots + 2 πn, x = π - 0.84806 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos^2(x)-3sin(x)=0

csc(t)= 1/(-(sqrt(2))/2)

cos^2(x)=1-sin(x),0<= x<2pi

cos(2x)-3sin(x)=2,0<= x<= 360

2cos^2(x)+3cos(x)=4cos(x)+1