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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)-2sqrt(3)*sin(x)=sqrt(8)

Lösung

2 cos (x) - 23 \cdot sin (x) = 8

Lösung

x = π + 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Grad

x = 25 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) - 23 sin (x) = 8

Füge

23 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 cos (x) = 22 + 23 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(2 cos (x))^{2} = (22 + 23 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(22 + 23 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

4 cos^{2} (x) - 8 - 86 sin (x) - 12 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) - 8 sin (x) 6

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 8 sin (x) 6

Vereinfache

- 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 8 sin (x) 6 : - 16 sin^{2} (x) - 86 sin (x) - 4

- 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 8 sin (x) 6

= - 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 86 sin (x)

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) 6

Vereinfache

- 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) 6 : - 16 sin^{2} (x) - 86 sin (x) - 4

- 8 - 12 sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) 6

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 12 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) - 86 sin (x) - 8 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- 12 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 16 sin^{2} (x)

= - 16 sin^{2} (x) - 86 sin (x) - 8 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 4 = - 4

= - 16 sin^{2} (x) - 86 sin (x) - 4

= - 16 sin^{2} (x) - 86 sin (x) - 4

= - 16 sin^{2} (x) - 86 sin (x) - 4

- 4 - 16 sin^{2} (x) - 8 sin (x) 6 = 0

Löse mit Substitution

- 4 - 16 sin^{2} (x) - 8 sin (x) 6 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 4 - 16 u^{2} - 8 u 6 = 0

- 4 - 16 u^{2} - 8 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 4 - 16 u^{2} - 8 u 6 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 16 u^{2} - 86 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 86 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 86, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 6 ) \pm ( - 8 6 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) ( - 4 )}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 6 ) \pm ( - 8 6 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) ( - 4 )}{2 ( - 16 )}

(- 86)^{2} - 4 (- 16) (- 4) = 82

(- 86)^{2} - 4 (- 16) (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 86)^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 4

(- 86)^{2} = 8^{2} \cdot 6

(- 86)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 86)^{2} = (86)^{2}

= (86)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 8^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 6

= 8^{2} \cdot 6

4 \cdot 16 \cdot 4 = 256

4 \cdot 16 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 4 = 256

= 256

= 8^{2} \cdot 6 - 256

8^{2} \cdot 6 = 384

8^{2} \cdot 6

8^{2} = 64

= 64 \cdot 6

Multipliziere die Zahlen:

64 \cdot 6 = 384

= 384

= 384 - 256

Subtrahiere die Zahlen:

384 - 256 = 128

= 128

Primfaktorzerlegung von

128 : 2^{7}

128

128

ist durch

2128 = 64 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 64

64

ist durch

264 = 32 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{7}

= 2^{7}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{6}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 2

Fasse zusammen

= 82

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 6 ) \pm 8 2}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 6 ) + 8 2}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 6 ) - 8 2}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 6 ) + 8 2}{2 ( - 16 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 8 6 ) + 8 2}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 6 + 8 2}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{8 6 + 8 2}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8 6 + 8 2}{32}

Streiche

\frac{8 6 + 8 2}{32} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{8 6 + 8 2}{32}

Klammere gleiche Terme aus

8

= \frac{8 ( 6 + 2 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 8 6 ) - 8 2}{2 ( - 16 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 8 6 ) - 8 2}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 6 - 8 2}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{8 6 - 8 2}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8 6 - 8 2}{32}

Streiche

\frac{8 6 - 8 2}{32} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{8 6 - 8 2}{32}

Klammere gleiche Terme aus

8

= \frac{8 ( 6 - 2 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}, sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 + 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 cos (x) - 23 sin (x) = 8

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 23 sin (x) = 8

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 23 sin (arcsin (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 8

Fasse zusammen

3.86370 \dots = 2.82842 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 23 sin (x) = 8

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 23 sin (π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 8

Fasse zusammen

2.82842 \dots = 2.82842 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 23 sin (x) = 8

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 23 sin (arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 8

Fasse zusammen

2.82842 \dots = 2.82842 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

2 cos (x) - 23 sin (x) = 8

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 23 sin (π + arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 8

Fasse zusammen

- 1.03527 \dots = 2.82842 \dots

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 1.30899 \dots + 2 πn, x = - 0.26179 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

((cot(x)-sqrt(3)))/((2sin(x)+1))=0

\frac{( cot ( x ) - 3 )}{( 2 sin ( x ) + 1 )} = 0

sin^2(x)+3sin(x)-1=0

sin^{2} (x) + 3 sin (x) - 1 = 0

tan(x)-3^{1/2}=0

tan (x) - 3^{\frac{1}{2}} = 0

(1+(2sin(x)))/((cos(x)))=0

\frac{1 + ( 2 sin ( x ) )}{( cos ( x ) )} = 0

(sin^2(a))/2 =(1-cos(a))/2

\frac{sin ^{2} ( a )}{2} = \frac{1 - cos ( a )}{2}