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Beliebt Trigonometrie >

5tan^4(x)-10tan^2(x)+1=0

Lösung

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Lösung

x = 0.94247 \dots + πn, x = - 0.94247 \dots + πn, x = 0.31415 \dots + πn, x = - 0.31415 \dots + πn

Grad

x = 5 4^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 1 8^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Löse mit Substitution

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Angenommen:

tan (x) = u

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0 : u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}, u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}

und

v^{2} = u^{4}

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Löse

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0 : v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 10, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 5}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 5}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 45

(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 1 = 20

= 1 0^{2} - 20

1 0^{2} = 100

= 100 - 20

Subtrahiere die Zahlen:

100 - 20 = 80

= 80

Primfaktorzerlegung von

80 : 2^{4} \cdot 5

80

80

ist durch

280 = 40 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 5

Fasse zusammen

= 45

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 4 5}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

v_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5}, v_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5}

v = \frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5} : \frac{5 + 2 5}{5}

\frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 + 4 5}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10 + 4 5}{10}

Faktorisiere

10 + 45 : 2 (5 + 25)

10 + 45

Schreibe um

= 2 \cdot 5 + 2 \cdot 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 + 25)

= \frac{2 ( 5 + 2 5 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 + 2 5}{5}

v = \frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5} : \frac{5 - 2 5}{5}

\frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 - 4 5}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10 - 4 5}{10}

Faktorisiere

10 - 45 : 2 (5 - 25)

10 - 45

Schreibe um

= 2 \cdot 5 - 2 \cdot 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 - 25)

= \frac{2 ( 5 - 2 5 )}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 - 2 5}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{5 + 2 5}{5} : u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}

u^{2} = \frac{5 + 2 5}{5}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}

Löse

u^{2} = \frac{5 - 2 5}{5} : u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

u^{2} = \frac{5 - 2 5}{5}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

Die Lösungen sind

u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}, u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5} : x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5} : x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5} : x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5} : x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn, x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn, x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn, x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.94247 \dots + πn, x = - 0.94247 \dots + πn, x = 0.31415 \dots + πn, x = - 0.31415 \dots + πn

Graph

Beliebte Beispiele

6tan(x)=8

6 tan (x) = 8

sin(x)cos(x-60)=0

sin (x) cos (x - 6 0^{\circ}) = 0

1+cos(a)=(2cos^2(a))/2

1 + cos (a) = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{2}

cos(x)+cos^4(x)= 1/2

cos (x) + cos^{4} (x) = \frac{1}{2}

sin^2(x)=sec(x)

sin^{2} (x) = sec (x)