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Populaire Trigonométrie >

5tan^4(x)-10tan^2(x)+1=0

Solution

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Solution

x = 0.94247 \dots + πn, x = - 0.94247 \dots + πn, x = 0.31415 \dots + πn, x = - 0.31415 \dots + πn

Degrés

x = 5 4^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 1 8^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Résoudre par substitution

5 tan^{4} (x) - 10 tan^{2} (x) + 1 = 0

Soit :

tan (x) = u

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0 : u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}, u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

5 u^{4} - 10 u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Résoudre

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0 : v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

5 v^{2} - 10 v + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 5, b = - 10, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 5}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 5}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 45

(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 5 \cdot 1 = 20

= 1 0^{2} - 20

1 0^{2} = 100

= 100 - 20

Soustraire les nombres :

100 - 20 = 80

= 80

Factorisation première de

80 : 2^{4} \cdot 5

80

80

divisée par

280 = 40 \cdot 2

= 2 \cdot 40

40

divisée par

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 20

20

divisée par

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

divisée par

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

= 2^{4} \cdot 5

Appliquer la règle des radicaux:

= 5 2^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 5

Redéfinir

= 45

v_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 4 5}{2 \cdot 5}

Séparer les solutions

v_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5}, v_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5}

v = \frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5} : \frac{5 + 2 5}{5}

\frac{- ( - 10 ) + 4 5}{2 \cdot 5}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{10 + 4 5}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10 + 4 5}{10}

Factoriser

10 + 45 : 2 (5 + 25)

10 + 45

Récrire comme

= 2 \cdot 5 + 2 \cdot 25

Factoriser le terme commun

2

= 2 (5 + 25)

= \frac{2 ( 5 + 2 5 )}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{5 + 2 5}{5}

v = \frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5} : \frac{5 - 2 5}{5}

\frac{- ( - 10 ) - 4 5}{2 \cdot 5}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{10 - 4 5}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10 - 4 5}{10}

Factoriser

10 - 45 : 2 (5 - 25)

10 - 45

Récrire comme

= 2 \cdot 5 - 2 \cdot 25

Factoriser le terme commun

2

= 2 (5 - 25)

= \frac{2 ( 5 - 2 5 )}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{5 - 2 5}{5}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

v = \frac{5 + 2 5}{5}, v = \frac{5 - 2 5}{5}

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = \frac{5 + 2 5}{5} : u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}

u^{2} = \frac{5 + 2 5}{5}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}

Résoudre

u^{2} = \frac{5 - 2 5}{5} : u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

u^{2} = \frac{5 - 2 5}{5}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

Les solutions sont

u = \frac{5 + 2 5}{5}, u = - \frac{5 + 2 5}{5}, u = \frac{5 - 2 5}{5}, u = - \frac{5 - 2 5}{5}

Remplacer

u = tan (x)

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}, tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}, tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5} : x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

Solutions générales pour

tan (x) = \frac{5 + 2 5}{5}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5} : x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

Solutions générales pour

tan (x) = - \frac{5 + 2 5}{5}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5} : x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

Solutions générales pour

tan (x) = \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5} : x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

Solutions générales pour

tan (x) = - \frac{5 - 2 5}{5}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

Combiner toutes les solutions

x = arctan \frac{5 + 2 5}{5} + πn, x = arctan - \frac{5 + 2 5}{5} + πn, x = arctan \frac{5 - 2 5}{5} + πn, x = arctan - \frac{5 - 2 5}{5} + πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.94247 \dots + πn, x = - 0.94247 \dots + πn, x = 0.31415 \dots + πn, x = - 0.31415 \dots + πn

Graphe

Exemples populaires

6tan(x)=8

sin(x)cos(x-60)=0

1+cos(a)=(2cos^2(a))/2

cos(x)+cos^4(x)= 1/2

sin^2(x)=sec(x)