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Populaire Trigonométrie >

4sin(x)-6cos(x)=3

Solution

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Solution

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Degrés

x = - 148.27395 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 80.89382 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Ajouter

6 cos (x)

aux deux côtés

4 sin (x) = 3 + 6 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(4 sin (x))^{2} = (3 + 6 cos (x))^{2}

Soustraire

(3 + 6 cos (x))^{2}

des deux côtés

16 sin^{2} (x) - 9 - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 9 + 16 sin^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Simplifier

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Développer

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Simplifier

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 9 + 16

Additionner les éléments similaires :

- 16 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 52 cos^{2} (x)

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 9 + 16

Additionner/Soustraire les nombres :

- 9 + 16 = 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0 : u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 52, b = - 36, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7 = 843

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 36)^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 36)^{2} = 3 6^{2}

= 3 6^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

Multiplier les nombres :

4 \cdot 52 \cdot 7 = 1456

= 3 6^{2} + 1456

3 6^{2} = 1296

= 1296 + 1456

Additionner les nombres :

1296 + 1456 = 2752

= 2752

Factorisation première de

2752 : 2^{6} \cdot 43

2752

2752

divisée par

22752 = 1376 \cdot 2

= 2 \cdot 1376

1376

divisée par

21376 = 688 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 688

688

divisée par

2688 = 344 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 344

344

divisée par

2344 = 172 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 172

172

divisée par

2172 = 86 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 86

86

divisée par

286 = 43 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

2, 43

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 43 2^{6}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 43

Redéfinir

= 843

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm 8 43}{2 ( - 52 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}, u_{2} = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

u = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )} : - \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 + 8 43}{- 2 \cdot 52}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 + 8 43}{- 104}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 + 8 43}{104}

Annuler

\frac{36 + 8 43}{104} : \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{36 + 8 43}{104}

Factoriser

36 + 843 : 4 (9 + 243)

36 + 843

Récrire comme

= 4 \cdot 9 + 4 \cdot 243

Factoriser le terme commun

4

= 4 (9 + 243)

= \frac{4 ( 9 + 2 43 )}{104}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{9 + 2 43}{26}

= - \frac{9 + 2 43}{26}

u = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )} : \frac{2 43 - 9}{26}

\frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 - 8 43}{- 2 \cdot 52}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 - 8 43}{- 104}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

36 - 843 = - (843 - 36)

= \frac{8 43 - 36}{104}

Factoriser

843 - 36 : 4 (243 - 9)

843 - 36

Récrire comme

= 4 \cdot 243 - 4 \cdot 9

Factoriser le terme commun

4

= 4 (243 - 9)

= \frac{4 ( 2 43 - 9 )}{104}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{2 43 - 9}{26}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26} : x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26} : x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

Faux

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

insérer

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Redéfinir

7.20686 \dots = 3

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

vrai

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

insérer

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

Redéfinir

3 = 3

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

insérer

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Redéfinir

3 = 3

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

Pour

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

Redéfinir

- 4.89917 \dots = 3

\Rightarrow Faux

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

4cos(x)=cos^3(x)

4 cos (x) = cos^{3} (x)

cos^2(a)= 3/(5sin(a))

cos^{2} (a) = \frac{3}{5 sin ( a )}

3cos(x)=2sec(x)-5

3 cos (x) = 2 sec (x) - 5

sin(a/2)=(1/2)sin(a)

sin (\frac{a}{2}) = (\frac{1}{2}) sin (a)

cos(x/2)=cos(x)+1

cos (\frac{x}{2}) = cos (x) + 1