integral of (cos^5(5x+1))/(sin^4(5x+1))

Lösung

\int \frac{cos ^{5} ( 5 x + 1 )}{sin ^{4} ( 5 x + 1 )} d x

\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} csc^{3} (5 x + 1) + 2 csc (5 x + 1) + sin (5 x + 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ^{5} ( 5 x + 1 )}{sin ^{4} ( 5 x + 1 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{cos ^{5} ( u )}{5 sin ^{4} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{cos ^{5} ( u )}{sin ^{4} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{( 1 - sin ^{2} ( u ) ) ^{2} cos ( u )}{sin ^{4} ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{( 1 - v ^{2} ) ^{2}}{v ^{4}} d v

Multipliziere aus

\frac{( 1 - v ^{2} ) ^{2}}{v ^{4}} : \frac{1}{v ^{4}} - \frac{2}{v ^{2}} + 1

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{v ^{4}} - \frac{2}{v ^{2}} + 1 d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{5} (\int \frac{1}{v ^{4}} d v - \int \frac{2}{v ^{2}} d v + \int 1 d v)

\int \frac{1}{v ^{4}} d v = - \frac{1}{3 v ^{3}}

\int \frac{2}{v ^{2}} d v = - \frac{2}{v}

\int 1 d v = v

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{3 v ^{3}} - (- \frac{2}{v}) + v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( 5 x + 1 )} - (- \frac{2}{sin ( 5 x + 1 )}) + sin (5 x + 1))

Vereinfache

\frac{1}{5} (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( 5 x + 1 )} - (- \frac{2}{sin ( 5 x + 1 )}) + sin (5 x + 1)) : \frac{1}{5} (- \frac{1}{3} csc^{3} (5 x + 1) + 2 csc (5 x + 1) + sin (5 x + 1))

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{3} csc^{3} (5 x + 1) + 2 csc (5 x + 1) + sin (5 x + 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{5} (- \frac{1}{3} csc^{3} (5 x + 1) + 2 csc (5 x + 1) + sin (5 x + 1)) + C

t an g e n t y = \frac{( x - 1 )}{x + 1}

d er i v a t i v e - \frac{5}{7 x + 5}

x \to 0 + lim ((1 + \frac{1}{x})^{x})

\int sin (π t) d t

x \to \infty lim (\frac{x}{e})