integral of (x^3)/(1-x^2)

Lösung

\int \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}} d x

- \frac{1}{2} (- 1 + x^{2} + ln 1 - x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{3}}{1 - x ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{- u + 1}{2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{- u + 1}{u} d u

Multipliziere aus

\frac{- u + 1}{u} : - 1 + \frac{1}{u}

= - \frac{1}{2} \cdot \int - 1 + \frac{1}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{2} (- \int 1 d u + \int \frac{1}{u} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= - \frac{1}{2} (- u + ln ∣ u ∣)

Setze in

u = 1 - x^{2}

ein

= - \frac{1}{2} (- (1 - x^{2}) + ln 1 - x^{2})

Vereinfache

= - \frac{1}{2} (- 1 + x^{2} + ln 1 - x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} (- 1 + x^{2} + ln 1 - x^{2}) + C