integral of 1/(y(2-y))

Lösung

\int \frac{1}{y ( 2 - y )} d y

\frac{1}{2} ln ∣ y ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{y ( 2 - y )} d y

Vervollständige das Quadrat

y (2 - y) : - (y - 1)^{2} + 1

= \int \frac{1}{- ( y - 1 ) ^{2} + 1} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

Setze in

u = y - 1

ein

= \frac{ln ∣ y - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y - 1 - 1 ∣}{2}

Vereinfache

\frac{ln ∣ y - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y - 1 - 1 ∣}{2} : \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣

= \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣ + C