integral of sqrt(x(1+\sqrt{x))}^4

解

\int x (1 + x)^{4} d x

\frac{x ^{3}}{3} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + \frac{x ^{4}}{4} + C

解答ステップ

\int (x (1 + x))^{4} d x

拡張

(x (1 + x))^{4} : x^{2} + 2 x^{\frac{5}{2}} + x^{3}

= \int x^{2} + 2 x^{\frac{5}{2}} + x^{3} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x + \int x^{3} d x

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}

\int 2 x^{\frac{5}{2}} d x = \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}}

\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4}

= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + \frac{x ^{4}}{4}

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + \frac{x ^{4}}{4} + C