integral of (5x^2)/(sqrt(4x-x^2))

Soluzione

\int \frac{5 x ^{2}}{4 x - x ^{2}} d x

5 (6 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1)) - 4 - x^{2} + 4 x) + C

Fasi della soluzione

\int \frac{5 x ^{2}}{4 x - x ^{2}} d x

Porta fuori la costante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{x ^{2}}{4 x - x ^{2}} d x

Completa il quadrato

4 x - x^{2} : - (x - 2)^{2} + 4

= 5 \cdot \int \frac{x ^{2}}{- ( x - 2 ) ^{2} + 4} d x

Applicare la sostituzione u

= 5 \cdot \int \frac{( u + 2 ) ^{2}}{- u ^{2} + 4} d u

Applicazione della sostituzione trigonometrica

= 5 \cdot \int (2 sin (v) + 2)^{2} d v

Espandi

(2 sin (v) + 2)^{2} : 4 sin^{2} (v) + 8 sin (v) + 4

= 5 \cdot \int 4 sin^{2} (v) + 8 sin (v) + 4 d v

Applica la Regola della Somma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 (\int 4 sin^{2} (v) d v + \int 8 sin (v) d v + \int 4 d v)

\int 4 sin^{2} (v) d v = 2 v - sin (2 v)

\int 8 sin (v) d v = - 8 cos (v)

\int 4 d v = 4 v

= 5 (2 v - sin (2 v) - 8 cos (v) + 4 v)

Sostituisci indietro

= 5 (2 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2)) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2))) - 8 cos (arcsin (\frac{1}{2} (x - 2))) + 4 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2)))

Semplificare

5 (2 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2)) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2))) - 8 cos (arcsin (\frac{1}{2} (x - 2))) + 4 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2))) : 5 (6 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1)) - 4 - x^{2} + 4 x)

= 5 (6 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1)) - 4 - x^{2} + 4 x)

Aggiungi una costante alla soluzione

= 5 (6 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1)) - 4 - x^{2} + 4 x) + C