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integral of (sqrt(2x))/(2x-4)

Lösung

\int \frac{2 x}{2 x - 4} d x

- ln \frac{x}{2} + 1 + ln \frac{x}{2} - 1 + 2 x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x}{2 x - 4} d x

Vereinfache

\frac{2 x}{2 x - 4} : \frac{x}{2 ( x - 2 )}

= \int \frac{x}{2 ( x - 2 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{x}{x - 2} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 u ^{2}}{u ^{2} - 2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{u ^{2}}{u ^{2} - 2} d u

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{2 v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot \int \frac{v ^{2}}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot \int \frac{v ^{2}}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 22 (- \int \frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} d v)

\frac{v ^{2}}{- v ^{2} + 1} = \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1

= \frac{1}{2} \cdot 22 (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} - 1 d v)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 22 (- (\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v - \int 1 d v))

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

\int 1 d v = v

= \frac{1}{2} \cdot 22 (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2} - v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 22 - \frac{ln \frac{x}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{2} - 1}{2} - \frac{x}{2}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 22 - \frac{ln \frac{x}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{2} - 1}{2} - \frac{x}{2} : - ln \frac{x}{2} + 1 + ln \frac{x}{2} - 1 + 2 x

= - ln \frac{x}{2} + 1 + ln \frac{x}{2} - 1 + 2 x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln \frac{x}{2} + 1 + ln \frac{x}{2} - 1 + 2 x + C

\int \frac{1}{6} e^{- \frac{x}{6}} d x

\int sin^{2} (1 - 2 x) d x

\int - x ln (x^{2} + 1) d x

\int \frac{x - 1}{3 x ^{3} + 6 x} d x

\int \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) x ^{2}} d x