integral of (2-x)/(3x^2+3x)

Lösung

\int \frac{2 - x}{3 x ^{2} + 3 x} d x

- \frac{x}{3 ( x + 1 )} + \frac{2}{3} ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3 ( x + 1 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 - x}{3 x ^{2} + 3 x} d x

Multipliziere aus

\frac{2 - x}{3 x ^{2} + 3 x} : \frac{2}{3 x ^{2} + 3 x} - \frac{x}{3 x ^{2} + 3 x}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2}{3 x ^{2} + 3 x} d x - \int \frac{x}{3 x ^{2} + 3 x} d x

\int \frac{2}{3 x ^{2} + 3 x} d x = 2 (\frac{1}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣)

\int \frac{x}{3 x ^{2} + 3 x} d x = \frac{x}{3 ( x + 1 )} + \frac{1}{3} (ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1})

= 2 (\frac{1}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣) - (\frac{x}{3 ( x + 1 )} + \frac{1}{3} (ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1}))

Vereinfache

2 (\frac{1}{3} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣) - (\frac{x}{3 ( x + 1 )} + \frac{1}{3} (ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1})) : - \frac{x}{3 ( x + 1 )} + \frac{2}{3} ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3 ( x + 1 )}

= - \frac{x}{3 ( x + 1 )} + \frac{2}{3} ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3 ( x + 1 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{x}{3 ( x + 1 )} + \frac{2}{3} ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ - \frac{1}{3 ( x + 1 )} + C

\int t^{3} + t d t

\int y (1 - y) d y

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 ) ( x ^{2} + 2 )} d x

\int \frac{y}{ln ( y )} d y

\int e^{x} 3 x d x